Master Math. Fonda. 2022-2023, Université Rennes 1

Module THGG : Théorie des groupes et géométrie

page mise à jour le 09/12/2022 à 15:35

Page web du cours de l'an dernier : THGG 2021-2022.

Contrôles

Le sujet de CC1 et son corrigé.
Le sujet de CC2 et son corrigé.

TD

Pour le groupe n° 1 l'encadrant est Salim Rostam et sa page web est ici.

Pour le groupe n° 2 l'encadrant est Matthieu Romagny.

Feuille n° 1   Feuille n° 2   Feuille n° 3   Feuille n° 4

Corrigés : sur la page de Salim Rostam, et ici pour les exercices 4 et 7 de la feuille 4.

Cours

    Organisation pratique du cours, calendrier, modalités d'évaluation, etc.
    Introduction.

1. Rappels sur les groupes et les actions de groupes. Résolubilité, simplicité.

    1.1. Sous-groupes distingués.
    1.2. Théorèmes d'isomorphisme.
    1.3. Groupes simples, facteurs simples, théorème de Jordan-Hölder.
    1.4. Groupes résolubles.
    1.5. Actions.
    1.6. Extensions et produit semi-direct.

2. Groupes symétriques et alternés.

    2.1. La signature.
    2.2. Générateurs de Sn et An.
    2.3. Simplicité de An.
    Complément : Calcul effectif avec les groupes. Où l'on répond à la question : à quoi sert-il d'engendrer Sn avec deux éléments ?

3. Géométrie vectorielle et groupes linéaires.

    3.1. Comment fait-on de la géométrie ?
    3.2. Transitivité des actions de groupe.
    3.3. Le groupe linéaire et quelques sous-groupes classiques.
    3.4. Générateurs de GL(E) et SL(E).
    3.5. Conjugaison des transvections. Commutateurs.
    3.6. Simplicité de PSL.
    3.7. Cas des corps finis.
    3.8. Décomposition de Bruhat et décomposition LU.
    Complément : la notation 𝔽q et ses dangers (M. Demazure, Cours d'algèbre, Cassini).
    Complément : la décomposition LU (Ph. Ciarlet, Introduction à l'analyse numérique matricielle et à l'optimisation, Masson).

4. Géométrie affine et géométrie projective.

    4.1. La structure de l'espace (ou : pourquoi la géométrie affine vous est familière).
    4.2. Espaces affines et sous-espaces affines.
    4.3. Applications affines ; groupe affine.
    4.4. Trois théorèmes de géométrie plane, et le simplexe régulier.
    4.5. Géométrie projective : géométrie de la vision.
    4.6. Espaces projectifs et sous-espaces projectifs.
    4.7. Hyperplans à l'infini, espaces affines à distance finie.
    4.8. Dualité projective.
    4.9. Homographies.
    Complément : J. Lelong-Ferrand, chapitre de géométrie affine dans Les fondements de la géométrie, PUF.

5. Formes quadratiques sur ℝ. Groupes orthogonaux

    5.1. Le groupe orthogonal ; générateurs.
    5.2. Compacité et connexité.
    5.3. Simplicité.
    5.4. Décomposition polaire.