Deuxième année de licence de mathématiques.
Analyse 3
Modalités de contrôle des connaissances.
La note finale sera donnée par la formule : max(E,(E+CC)/2), dans laquelle E désigne la note obtenue à l'épreuve d'une durée de deux heures qui se déroulera après la fin des cours et CC la note de contrôle continu. La note CC sera calculée de la façon suivante : trois interrogations d'une durée d'une heure seront notées sur 10, deux devoirs à la maison seront notés sur 2, des exercices WIMS seront notés sur 3 ; la somme S de ces notes donnera un nombre entre 0 et 37 ; CC sera 20/37*S arrondie au demi point supérieur.
Dates des trois devoirs surveillés d'une heure : 24 septembre, 22 octobre, 19 novembre.
En cas d'absence justifiée à l'un des devoirs surveillés les notes des deux autres devoirs seront comptées sur 15 et la formule de calcul de CC sera la même.
En cas d'absences justifiées à deux ou trois devoirs surveillés un oral sera organisé pour attribuer une note de devoirs surveillés (sur 30).
En cas d'absence injustifiée à un devoir surveillé la note correspondante est 0.
Les notes de contrôle continu
Vérifiez que la note qui vous est attribuée est correcte.
Liens
Sur le raisonnement en mathématiques
Développements limités à connaître
Développements limités à savoir
Archives
Corrigé de l'examen de décembre 2009
Corrigé de l'examen de décembre 2008
Les devoirs
Les feuilles d'exercices pour les TD et les énoncés de devoirs.
Le déroulement du cours.
A chaque cours est attaché un fichier. Ce fichier reprend tout ou partie du cours. Il peut aussi donner des compléments, indiquer quelques références, proposer des exercices,...
Cours 1 (2/9) : Les nombres rationnels ne remplissent pas la droite réelle. Racine de 2 n'est pas rationnel. Lien vers un billet présentant un livre récent. Développement décimaux des nombres rationnels. Pour donner un sens à une écriture décimale quelconque, on a besoin de la propriété : une suite croissante majorée est convergente. Axiomes des nombres réels. Relation d'ordre.
Cours 2 (6/9) : Quelques raisonnements à partir des axiomes (ou comment retrouver des propriétés classiques à partir des axiomes). Valeur absolue. Suites convergentes. La suite (1/n) converge vers 0. Parties majorées, minorées, bornées. Plus grand élément, plus petit élément. Borne supérieure. Toute partie non vide majorée de R a une borne supérieure.
Cours 3 (8/9) : Démonstration de la propriété de la borne supérieure. Borne inférieure. Notations. Conventions pour l'ensemble vide. Résolution d'un exercice ROC. Bornes supérieures et inférieures et opérations ensemblistes. Exercices à faire pour vendredi : 1, 2, 4, 5, 6, 8, 10.
Cours 4 (13/9) : Borne supérieure d'une réunion infinie d'ensembles. Bornes de fonctions à valeurs réelles. Comportement vis à vis des opérations algébriques. Suites. Définitions. Valeurs d'adhérence. Limites supérieure et inférieure.
Cours 5 (20/9) : Les limites supérieure et inférieure d'une suite bornée (u_n) sont respectivement la plus grande et la plus petite valeur d'adhérence de la suite (u_n). Une suite bornée a une limite si et seulement si ses limites supérieure et inférieure sont égales. Suites extraites. Définition d'une partie dense de R. L'ensemble des nombres rationnels est dense dans R.
Cours 6 (22/9) : Si A est incluse dans B et A est dense dans R alors B est dense dans R. Caractérisation séquentielle de la densité d'une partie. Cardinal d'un ensemble. Exemples. L'ensemble des nombres rationnels est dénombrable. L'ensemble des nombres réels n'est pas dénombrable. Il n'existe pas de surjection d'un ensemble sur l'ensemble de ses parties. Une construction de R : les coupures de Dedekind.
Cours 7 (27/9) : Coupures de Dedekind (fin). Début du deuxième chapitre. Limites de fonctions. Limite +infini en +infini : définition, exemples, addition, multiplication. Caractérisation séquentielle.
Cours 8 (4/10) : Limites infinies en l'infini (suite). Limites finies en l'infini : définition, exemples, caractérisation séquentielle, opérations algébriques.
Cours 9 (6/10) : Limites finies en un point de R : définition, exemples, caractérisation séquentielle, opérations algébriques.
Cours 10 (11/10) : Limites finies en un point de R (suite) : limite d'un produit, d'un quotient de fonctions. Limite et composition de fonctions. Limites à droite et à gauche en un point. Limite infinie en un point. Fonctions monotones. Limites à droite et à gauche pour une fonction monotone.
Cours 11 (18/10) : Limites en l'infini de fonctions monotones. Fonctions continues sur un intervalle. Définition. Somme, produit, quotient, composée de fonctions continues. Exemple de la fonction exponentielle définie comme somme d'une série. Théorème des valeurs intermédiaires.
Cours 12 (20/10) : Une fonction continue définie sur un intervalle fermé borné est bornée et atteint ses bornes. Exemples. L'image d'un segment par une fonction continue est un segment. Une fonction continue strictement monotone définie sur un intervalle définit une bijection de cet intervalle sur son image ; la bijection réciproque est continue strictement monotone (de même sens de variation).
Cours 13 (8/11) : Continuité uniforme : définition, exemples, théorème de Heine. Dérivée d'une fonction définie sur un intervalle : définitions, dérivée d'une somme, d'un produit, d'un quotient, d'une fonction composée.
Cours 14 (10/11) : Dérivée de la fonction réciproque d'une fonction dérivable strictement monotone dont la dérivée ne s'annule pas. Exemples : polynômes, fractions rationnelles, exponentielle (définie par une somme de série), fonctions logarithme, puissances. La dérivée d'une fonction (dérivable) en un point à l'intérieur de l'intervalle de définition où cette fonction a un extremum local est nulle. Théorème de Rolle. Théorème des accroissements finis.
Cours 15 (15/11) : Inégalité des accroissements finis. Exemples. Développement de Taylor à l'ordre 2 d'une fonction C^2. Application : condition suffisante pour un extremum local. Formule de Leibniz. Début du chapitre sur les développements limités. Définition. Exemples. Développement de Taylor avec reste intégral.
Cours 16 (22/11) : Développement de Taylor-Young, Taylor-Lagrange. Développements de Taylor à connaître par coeur : exp, ch, sh, sin, cos. Opérations sur les développement limités : troncature, somme, produit.
Cours 17 (24/11) : Composition de développements limités. Développement limité d'un quotient, d'une primitive.
Cours 18 (29/11) : Applications des développements limités : limites de fonctions, limites de suites, nature de séries numériques, étude locale d'une fonction (tangente, position par rapport à la tangente), branche infinies.