L2 MIEE // Module VAR
Fonctions de plusieurs variables
Modalités de contrôle des connaissances.
La note finale sera donnée par la formule : max(E,(E+CC)/2), dans laquelle E désigne la note obtenue à l'épreuve d'une durée de deux heures qui se déroulera après la fin des cours et CC la note de contrôle continu. La note CC sera calculée de la façon suivante. Vous aurez deux notes sur 10 pour deux interrogations d'une durée de 1 heure, une note sur 2 points pour deux devoirs à la maison. La somme de ces notes ramenée à une note sur 20 sera CC.
Les deux contrôles d'une heure se dérouleront en TD les vendredis 7 octobre et, attention la date a été modifiée, 25 novembre.
En cas d'absence injustifiée à un contrôle la note attribuée est 0. Un créneau d'une heure sera fixé ultérieurement pour une épreuve destinée aux étudiants qui auraient été absents et auraient justifié leur absence à l'un des deux contrôles (les justificatifs d'absence sont à déposer auprès de Véronique Le Goff). Les personnes ne pouvant être présents ni le 7 octobre ni le 25 novembre ne se verront pas attribuer de note CC (leur note en VAR sera la note E).
Les contrôles d'octobre, de novembre et l'examen comporteront une question tirée de la liste suivante : Connaissances élémentaires (dans les deux premières pages pour le 7 octobre, les quatre premières pour le 25 novembre, l'ensemble du questionnaire pour l'examen).
Liste d'exercices type pour l'examen.
Références bibliographiques
Le cours aura essentiellement le même contenu que celui de l'an passé (le polycopié résumant le cours).
Une bonne partie du contenu est couvert par : Liret et Martinais, Analyse, première année chapitre 15 (qui ne sera pas traité entièrement dans le module), deuxième année chapitres 5, 7, 8, 10.
Les feuilles d'exercices pour les TD et les énoncés de devoirs.
Corrigé des exercices de la feuille 1 (rédigé par D. Thomine)
Corrigés d'exercices de la feuille 2 (rédigés par G. Cousin et D. Thomine)
Préparation du devoir du 7 octobre
Corrigés des exercices de la feuille 3 (rédigés par D. Thomine)
Les énoncés du DS1 : celui du matin, celui de l'après-midi. Corrigé de celui de l'après-midi.
Corrigés des exercices de la feuille 4 (rédigés par D. Thomine)
Les énoncés du DS 2 : celui du matin, celui de l'après-midi.
Quelques corrigés pour les feuilles 5 et 6
Corrigé partiel du dernier exercice du DM
Le déroulement du cours.
Cours 1 (6/9) : Introduction. Début du chapitre 1 : l'espace R^n. Définition. Repères. Produit scalaire. Norme, distance associées. Coordonnées polaires, sphériques. Boule ouverte dans R^n. Ouvert de R^n. Pour le TD, préparer les exercices 1 à 5 de la feuille 1.
Cours 2 (13/9) : Ouverts de R^n. Exemples. Intérieur, frontière (ou bord), extérieur d'un ensemble. Exemples. Une réunion d'ensemble ouverts est ouverte. Une intersection finie d'ensemble ouverts est ouverte. Suites à valeurs dans R^n. Convergence. Une suite bornée a une sous-suite convergente. Un ensemble A est fermé si la limite de toute suite convergente de points de A appartient à A. Ensembles compacts (fermés, bornés). Exemples. Si A est compact, toute suite de points de A a une sous-suite convergeant dans A. Résumé des deux premiers cours.
Cours 3 (20/9) : Début du chapitre 2 : les fonctions de plusieurs variables. Définition. Exemples. Représentation géométrique : f(x,y)=x^2+y^2, f(x,y)=x^2-y^2. Domaine de définition. Prolongement. Définitions : fonction majorée, minorée, bornée, borne supérieure, inférieure, minimum local, maximum local, minimum global, maximum global. Quand dit-on qu'une fonction atteint sa borne supérieure, sa borne inférieure ? Exemples. Limite d'une fonction à valeurs réelles en un point de l'adhérence de son domaine de définition (pour tout e>0 il existe a>0 tel que si d(x,x_0)<a et x appartient au domaine alors |f(x)-f(x_0)|<e ; caractérisation séquentielle). Continuité d'une fonction en un point où elle est définie. Continuité sur son domaine de définition. Enoncé du théorème : si f et g à valeurs réelles sont continues en x_0 alors f+g, fg aussi ; si g(x_0) n'est pas nul alors f/g est définie au voisinage de x_0 et continue en x_0.
Pas de cours le 27/9 pour cause de grève. Le cours est reporté au 6 décembre. Résumé des cours 3 et 4 (version provisoire).
Cours 4 (4/10) : Continuité (suite). Continuité de la somme de deux fonctions continues (démonstration avec la caractérisation séquentielle de la continuité). Un fonction continue sur un compact à valeurs réelles est bornée et atteint ses bornes. Démonstration. Continuité des fonctions à valeurs dans R^m (continuité des fonctions coordonnées). Continuité des fonctions composées. Dérivées partielles, différentielles. Définitions. Quelques exemples de calculs. Si une fonction a des dérivées partielles continues alors elle est différentiable.
Cours 5 (11/10) : Gradient. Dérivées partielles d'ordre supérieur. Théorème de Schwarz. Différentiabilité d'une fonction à valeurs dans R^p. Formule de Taylor à l'ordre 1. Différentielle d'une fonction composée. Formule de dérivation en chaîne. Début du chapitre 3 : Sous-ensembles de R^n et fonctions. 1. Les courbes paramétrées.
Cours 6 (18/10) : Courbes paramétrées : courbes régulières, vecteur tangent, paramétrage normal, courbure. Nappes paramétrées : plan tangent. Courbes de niveau : tangentes. Surfaces de niveau : plan tangent.
Cours 7 (25/10) : Théorèmes d'inversion locale et des fonctions implicites. Début du chapitre 4 : optimisation libre et sous contrainte. Une condition nécessaire pour avoir un extremum libre en un point est que ce point soit critique.
Cours 8 (8/11) : Développement de Taylor à l'ordre 2. Nature d'un point critique d'une fonction de n varaibles à valeurs réelles. Théorème des extrema liés avec une contrainte. Exemples.
Cours 9 (15/11) : Exemple de problème de maximisation (boîte dans une boule de volume maximum). Intégrales des fonctions de plusieurs variables à valeurs réelles.
Cours 10 (22/11) : Intégration des fonctions de plusieurs variables à valeurs réelles (suite). Intégration par tranche (théorème de Fubini). Exemples. Changement de variables (énoncés du théorème et idée de la preuve).
Cours 11 (29/11) : Changements de variables : exemples de calculs. Champs de vecteurs. Intégration d'un champ de vecteurs le long d'une courbe. Champs gradient.
Cours 12 (6/12) : Champs de vecteurs, condition nécessaire et suffisante pour qu'un champ de vecteurs dérive d'un potentiel sur un domaine simplement connexe. Théorème de Green-Riemann. Rotationnel, théorème de Stokes.