Anneaux et Arithmétique (2020-2021)

Pour la première séance, vu le peu de temps imparti pour l'étude des notes de cours, on commence en douceur avec les parties 2.1 et 2.2 du chapitre 2.

Définition d'un anneau, exemples, règles élémentaires de calculs.
Sous-anneaux d'un anneau, intersection de sous-anneaux, sous-anneau engendré par une partie.

Notes manuscrites de la séance

Parties 2.3 et 2.4 (jusqu'à la proposition 23 incluse) du chapitre 2

Groupe des éléments inversibles d'un anneau.
Morphisme d'anneaux, image et image réciproque d'un sous-anneau par un morphisme d'anneaux
Exemples de morphismes d'anneaux, noyau d'un morphisme d'anneaux.
Pour tout anneau A, Hom(Z,A) est un singleton.
Notion d'idéal, propriétés élémentaires
(intersection, somme, produit d'idéaux, idéal engendré)

Notes manuscrites de la séance

Parties 2.4 (de la définition 24 jusqu'à la fin) et 2.5 (jusqu'à la proposition 34 incluse) du chapitre 2

Idéaux premiers et maximaux
Idéaux de Z et k[X] (k un corps) (description, idéaux premiers et maximaux)
Caractéristique d'un anneau
Produit d'anneaux

Si vous vous sentez suffisamment à l'aise, je vous conseille de lire aussi la fin
de la partie 2.5 (anneaux de polynômes et de séries formelles)

Notes manuscrites de la séance

Fin de la section 2.5 du chapitre 2

Polynômes et séries formelles à coefficients dans un anneau

• degré sur \(A[X]\) ; si \(A\) est intègre, \(A[X]\) est intègre
• morphisme d'évaluation \(A[X]\to A,\quad P\mapsto P(a)\)
• valuation sur \(A[[X]]\) ; si \(A\) est intègre, \(A[[X]]\) est intègre
• division euclidienne par un polynôme de coefficient dominant inversible
  
• racines (zéros) d'un polynome ;
  un polynôme \(P\) à coefficients dans un anneau intègre a au plus \(\deg(P)\) racines
• propriété universelle de l'anneau de polynômes
  en une indéterminée à coefficients dans un anneau
• anneau de polynôme en plusieurs indéterminées

Notes manuscrites de la séance

Sections 2.6 et 2.8 du chapitre 2
(on laisse tomber 2.7 pour l'instant ; si vous vous sentez
suffisamment à l'aise, vous pouvez bien sûr lire aussi cette section)

• anneau quotient, propriété universelle, théorèmes d'isomorphisme
• anneaux intègres, corps, caractérisation des idéaux premiers
  et maximaux en termes de quotient

Notes manuscrites de la séance

Retour sur les sections 2.6 et 2.8 du chapitre 2
Sections 2.9 et 2.10 du chapitre 2
Si vous vous sentez suffisamment à l'aise,
vous pouvez commencer à lire tout ou partie du (court) chapitre 3

• Éléments irréductible d'un anneau intègre;
  propriété premier \(\Rightarrow\) irréductible
• Notion d'algèbre;
  propriété universelle de la \(A\)-algèbre \(A[X]\);
  structure d'espace vectoriel sur une algèbre d'anneau de base un corps

Notes manuscrites de la séance

Sections 2.9 et 2.10 du chapitre 2
Intégralité du chapitre 3

• Éléments irréductible d'un anneau intègre;
  propriété premier \(\Rightarrow\) irréductible
• Notion d'algèbre;
  propriété universelle de la \(A\)-algèbre \(A[X]\);
  structure d'espace vectoriel sur une algèbre d'anneau de base un corps
• Quotients de \(\mathbf{Z}\) et de \(\mathbf{K}[X]\) : éléments inversibles, endomorphismes ;
  carrés dans \(\mathbf{Z}/p\mathbf{Z}\) ;
  base du \(\mathbf{K}\)-espace vectoriel \(\mathbf{K}[X]/P\mathbf{K}[X]\) ;
  éléments algébriques sur un corps, polynôme minimal d'un élément algébrique

Notes manuscrites de la séance

Retour sur quelques points du chapitre 3
Sections 4.1 à 4.5 du chapitre 4
Suggestion si vous vous sentez à l'aise ou par curiosité : l'interlude cryptographique 4.6
Suggestion si vous vous sentez à l'aise : fin du chapitre 4 (4.7 et 4.8)

• Corps finis : définition, caractéristique et cardinal;
  exemples : \(\mathbf{Z}/p\mathbf{Z}\) (\(p\) premier), quotients d'anneaux de
  polynômes à coefficients dans \(\mathbf{Z}/p\mathbf{Z}\)
  
• Comment calcule-t-on dans le corps à \(4\) éléments ?
• Le morphisme de Frobenius sur un anneau de caractéristique un nombre premier

• Le groupe des inversibles d'un corps fini est cyclique
  Application : tout corps fini est un quotient d'un anneau de
  polynômes à coefficients dans \(\mathbf{Z}/p\mathbf{Z}\) (\(p\) premier)

  Notes manuscrites de la séance

Retour sur quelques points du début du chapitre 4
Sections 4.7 à 4.8 du chapitre 4
Suggestion si vous vous sentez à l'aise ou par curiosité : l'interlude cryptographique 4.6
Suggestion si vous vous sentez à l'aise : 4.9
NB : le contenu de 4.6 et 4.9 n'est pas exigible lors des évaluations
liées au module

• Deux corps finis de même cardinal sont isomorphes ; aspect effectif.

• Pour tout nombre premier \(p\) et tout entier strictement positif \(n\),
  il existe un corps fini de cardinal \(n\) ;
  pour tout entier strictement positif \(N\), un tel corps possède un
  sous-corps de cardinal \(N\) si et seulement si \(N\) s'écrit
  \(p^d\) où \(d\) est un diviseur positif de \(N\), et alors
  un tel sous-corps est unique.

  Notes manuscrites de la séance

Intégralité du chapitre 5
Consultez en priorité le guide de lecture

• Définition et propriétés de la localisation d'un anneau par rapport
  à une partie multiplicative

• Cas de la localisation d'un anneau intègre ;
  corps des fractions d'un anneau intègre

  Notes manuscrites de la séance

Suite et fin de la séance 10 (même programme)

Notes manuscrites de la séance