Définition: groupe, sous-groupe, morphisme, ordre d'un
élément, propriété universelle de
$(\mathbb{Z},+)$.
Description des sous-groupes de $\mathbb{Z}$.
Chapitre 2:
Le groupe symétrique: $\mathfrak{S}_n$
Définition, décomposition en produit de cycles
à support disjoint, définition de la signature,
groupe alterné $\mathfrak{A}_n$.
Chapitre 3:
Relation d'équivalence
Relation d'équivalence, partition, quotient.
Relation d'équivalence associée à un
sous-groupe, quotient d'un groupe par un sous-groupe,
théorème de Lagrange. Notion de sous-groupe
distingué, structure de groupe sur un quotient par un
sous-groupe distingué, 1er théorème
d'isomorphisme. Classification des groupes monogènes,
classification des groupes d'ordre $p$ avec $p$ un nombre premier.
Propriété universelle du quotient, correspondance
entre sous-groupes d'un groupe et d'un des ses quotients, quotient
de quotient.
Chapitre 4:
Produit direct et semi-direct
Somme direct et produit direct de groupes. Fil rouge:
décomposition d'un groupe abélien fini en somme de
$p$-groupes.
Définition du produit semi-direct du point de vue interne
et externe. Exemple du groupe diédral.
Chapitre 5:
Groupe abélien fini
Notion d'exposant d'un groupe. Démonstration du fait que
dans un groupe abélien fini, il existe un
élément d'ordre maximal. Corollaire: tout
sous-groupe fini d'un corps est cyclique. Démonstration du
fait que dans un groupe abélien fini, le groupe
engendré par un élément d'ordre maximal admet
un complément. Corollaire: la décomposition
canonique des groupes abéliens. Etude des groupes
cycliques, en particulier de leur groupe d'automorphismes.
Chapitre 6:
Action de groupe
Définition d'une action via une application $G \times X \to
X$ ou via un morphisme $G \to \textrm{Bij}(X)$. Exemples
fondamentaux. Définition de la notion d'orbite, de
fidélité, transitivité, d'action libre.
Retour sur les exemples fondamentaux. Formule des classes. Action
de $G$ sur $G$ par translation à gauche, par conjugaison.
Applications aux $p$-groupes. Classification des groupes d'ordre
$p^2$.
Chapitre 7:
Théorème de Sylow
Définition et présentation des
théorèmes de Sylow. Construction d'un $p$-Sylow dans
$\textrm{GL}_n(\mathbb{F}_p)$. Etude de l'action $G
\curvearrowright G /_H$. Application: "tout sous-groupe d'indice
le plus petit diviseur premier de l'ordre de $G$ est
distingué". Application: classification des groupes d'ordre
$pq$.
Preuve des trois théorèmes de Sylow. Application:
classification des groupes d'ordre 30.
Chapitre 8:
Le groupe symétrique $\mathfrak{S}_n$ et le
groupe alterné $\mathfrak{A}_n$
L'action de $\mathfrak{S}_n$ sur $\{ 1, ..., n \}$ est
$n-$transitive et l'action de $\mathfrak{A}_n$ sur $\{ 1, ..., n
\}$ est $(n-2)-$transitive. Description des classes de conjugaison
de $\mathfrak{S}_n$.
Définition de la simplicité d'un groupe. Etude
rapide de $\mathfrak{A}_n$ dans les cas $n=1,...,4$. Enoncé
du théorème $\mathfrak{A}_n$ est simple si $n
\geqslant 5$. Etude des classes de conjugaison de
$\mathfrak{A}_5$.
Démonstration de la simplicité de $\mathfrak{A}_5$
puis de la simplicité de $\mathfrak{A}_n$. Sous-groupes
distingués de $\mathfrak{S}_n$.
Evaluation
Contrôle continu 1: Mercredi 7
novembre. Contrôle continu 2: Mercredi 28 novembre. Terminal: Mercredi 19 décembre de 8h à
10h, Bat 02A. Sujet. Correction rapide.
Les DM de l'année
Devoir maison 1: Distribution mercredi 10
octobre; Ramassage vendredi 26 octobre. DM1 Devoir maison 2: Distribution mercredi 14 novembre; Ramassage
vendredi 28 novembre. DM2