L2 Module VAR. Responsable: Goulwen FICHOU

Fonctions de plusieurs variables

Modalités de contrôle des connaissances

La note finale sera donne par la formule : max(E,(E+CC)/2), dans laquelle E désigne la note obtenue à l'épreuve d'une durée de deux heures qui se déroulera après la fin des cours et CC la note de contrôle continu. La note CC sera calculée de la façon suivante. Vous aurez deux notes sur 10 pour deux interrogations d'une durée de 1 heure, et un bonus symbolique pour deux devoirs à la maison. La somme de ces notes sera CC.

Les deux contrôles d'une heure se dérouleront en cours le mardi 14 octobre et le mardi 18 novembre.

En cas d'absence injustifiée à un contrôle la note attribuée est 0. Un créneau d'une heure sera fixé ultérieurement pour une épreuve destinée aux étudiants qui auraient été absents et auraient justifié leur absence à l'un des deux contrôles (les justificatifs d'absence sont à déposer auprès de Véronique Le Goff). Les personnes ne pouvant être présents à aucun des deux contrôles ne se verront pas attribuer de note CC (leur note en VAR sera la note E).

Les contrôles d'octobre, de novembre et l'examen comporteront une question tirée de la liste suivante : Connaissances élémentaires (dans les deux premières pages pour début octobre, les quatre premières pour la mi-novembre, l'ensemble du questionnaire pour l'examen).

Programme.

Normes et distances dans R^d, limite dans R^d.
Fonctions de plusieurs variables. Continuité. Dérivées partielles, gradient, fonction de classe C¹, théorème des accroissements finis, matrice jacobienne et interprétation géométrique. Dérivées partielles successives, formule de Taylor, extrema de fonctions de plusieurs variables. .
Exemples de courbes et de surfaces données par une équation implicite f=0 ; espace tangent.
Intégrales curvilignes.
Intégrales doubles et triples, théorème de Fubini. Intégrales successives.

Devoirs

Devoir du 14 octobre et son corrigé.

Devoir du 18 novembre et son corrigé.

Références bibliographiques

Le cours aura essentiellement le même contenu que celui de l'an passé, assuré par Stéphane Le Borgne.

Une bonne partie du contenu est couvert par : Liret et Martinais, Analyse, première année chapitre 15 (qui ne sera pas traité entièrement dans le module), deuxième année chapitres 5, 7, 8, 10.

Feuilles d'exercices

Devoirs à la maison

Devoir 1, à rendre en TD pour la semaine du 29 septembre. La correction.

Devoir 2, à rendre en TD pour la semaine du 3 novembre

Déroulement du cours

Cours 1 : Introduction. L'espace R^d. Définition. Produit scalaire. Inégalité de Cauchy-Schwarz. Norme, distance euclidiennes. Produit vectoriel.

Cours 2 : Coordonnées polaires, sphériques. Boule ouverte dans R^d. Ouverts de R^d. Fermés de R^d. Intérieur, adhérence d'un ensemble. Réunions d'ouverts, intersections finies d'ouverts sont des ouverts. Exemples. Suites dans R^d (définition, convergence, Bolzano-Weierstrass). Caractérisation séquentielle des fermés. Compacts de R^d.

Cours 3 : Début du chapitre 2 : les fonctions de plusieurs variables. Fonctions numériques. Définitions et rappels (majorants, minorants, borne supérieure, inférieure, minimum local,...). Limite d'une fonction en un point adhérent à son ensemble de définition. Continuité. Caractérisation séquentielle de la continuité. Image réciproque d'un ouvert ou d'un fermé par une fonction continue définie sur tout R^d.

Cours 4 Continuité de la somme de deux fonctions continues (démonstration avec la caractérisation séquentielle de la continuité). Une fonction continue sur un compact, à valeurs réelles, est bornée et atteint ses bornes. Démonstration. Continuité des fonctions à valeurs dans R^m (continuité des fonctions coordonnées). Continuité des fonctions composées. Notes pour les quatre premiers cours.

Cours 5 Courbes paramétrées : longueur d'une courbe, paramétrage unitaire.

Cours 6 Dérivées partielles. Gradient. Théorème des accroissements finis. Dérivées selon un vecteur.

Cours 7 (1h de cours puis CC): Interprétation géométrique du gradient . Différentielles. Définitions. Quelques exemples de calculs. Si une fonction a des dérivées partielles continues alors elle est différentiable.

Cours 8 : Dérivées partielles d'ordre supérieur. Différentiabilité d'une fonction à valeurs dans R^p. Différentielle d'une fonction composée.

Cours 9 : Nappes paramétrées : plan tangent. Courbes de niveau : tangentes. Plan tangent à une surface de niveau. Théorèmes d'inversion locale et des fonctions implicites. Notes pour les cinq derniers cours.

Cours 10 (1h de cours puis CC): Début du chapitre sur l'optimisation : extrema libres, le cas de la dimension 1 (utilisation des deux premières dérivées pour repérer un extremum local). Développement de Taylor à l'ordre 2 d'une fonction numérique de n variables, points critiques, natures des points critiques et matrices hessiennes.

Cours 11 : Extrema liés : optimisation sous contrainte, théorème des extrema liés (une contrainte).

Cours 12 : Intégration des fonctions de deux variables. Définition. Intégration par tranches. Exemples de calculs.

Cours 13 : Changements de variables. Remarques sur le déterminant. Intégration des fonctions de trois variables. Exemples de calculs. Notes du cours.