L2 MIEE // Module VAR
Fonctions de plusieurs variables
Modalités de contrôle des connaissances.
La note finale sera donnée par la formule : max(E,(E+CC)/2), dans laquelle E désigne la note obtenue à l'épreuve d'une durée de deux heures qui se déroulera après la fin des cours et CC la note de contrôle continu. La note CC sera calculée de la façon suivante. Vous aurez deux notes sur 10 pour deux interrogations d'une durée de 1 heure, une note sur 2 points pour deux devoirs à la maison. La somme de ces notes ramenée à une note sur 20 sera CC.
Les deux contrôles d'une heure se dérouleront en TD les mercredis 2 octobre et 13 novembre pour les groupes 3 et 4, les vendredis 4 octobre et 15 novembre.
En cas d'absence injustifiée à un contrôle la note attribuée est 0. Un créneau d'une heure sera fixé ultérieurement pour une épreuve destinée aux étudiants qui auraient été absents et auraient justifié leur absence à l'un des deux contrôles (les justificatifs d'absence sont à déposer auprès de Véronique Le Goff). Les personnes ne pouvant être présents à aucun des deux contrôles ne se verront pas attribuer de note CC (leur note en VAR sera la note E).
Les contrôles d'octobre, de novembre et l'examen comporteront une question tirée de la liste suivante : Connaissances élémentaires (dans les deux premières pages pour début octobre, les quatre premières pour la mi-novembre, l'ensemble du questionnaire pour l'examen).
Liste d'exercices type pour l'examen.
Devoirs
DS1 du 2 octobre, DS1 du 4 octobre, un corrigé de celui du 4 octobre
Un corrigé partiel de l'une des deux versions du DS2.
Un corrigé partiel de l'examen du mois de décembre 2013.
Références bibliographiques
Le cours aura essentiellement le même contenu que celui de l'an passé.
Une bonne partie du contenu est couvert par : Liret et Martinais, Analyse, première année chapitre 15 (qui ne sera pas traité entièrement dans le module), deuxième année chapitres 5, 7, 8, 10.
Feuilles d'exercices
Déroulement du cours
Cours 1 (10/9) : Introduction. L'espace R^n. Définition. Produit scalaire. Inégalité de Cauchy-Schwarz. Norme, distance euclidiennes. Coordonnées polaires, sphériques. Notes pour le cours 1.
Cours 2 (17/9) : Boule ouverte dans R^n. Ouverts de R^n. Fermés de R^n. Intérieur, adhérence d'un ensemble. Réunions d'ouverts, intersections finies d'ouverts sont des ouverts. Exemples. Suites dans R^n (définition, convergence, Bolzano-Weierstrass). Notes pour le cours 2.
Cours 3 (24/9) : Caractérisation séquentielle des fermés. Compacts de R^n. Début du chapitre 2 : les fonctions de plusieurs variables. Fonctions numériques. Définitions et rappels (majorants, minorants, borne supérieure, inférieure, minimum local,...). Notes pour le cours 3.
Cours 4 (1/10) : Limite d'une fonction en un point adhérent à son ensemble de définition. Continuité. Caractérisation séquentielle de la continuité. Image réciproque d'un ouvert ou d'un fermé par une fonction continue définie sur tout R^n. Continuité de la somme de deux fonctions continues (démonstration avec la caractérisation séquentielle de la continuité). Notes pour le cours 4.
Cours 5 (8/10) : Une fonction continue sur un compact, à valeurs réelles, est bornée et atteint ses bornes. Démonstration. Continuité des fonctions à valeurs dans R^m (continuité des fonctions coordonnées). Continuité des fonctions composées. Dérivées partielles. Gradient. Dérivées partielles d'ordres supérieurs. Théorème de Schwarz. Matrice hessienne. Notes pour le cours 5.
Cours 6 (15/10) : Différentielles. Définitions. Quelques exemples de calculs. Si une fonction a des dérivées partielles continues alors elle est différentiable. Différentiabilité d'une fonction à valeurs dans R^p. Différentielle d'une fonction composée. Formule de dérivation en chaîne. Notes pour le cours 6.
Cours 7 (22/10) : Théorème des accroissements finis. Applications : une fonction différentiable sur un ensemble convexe (et même connexe) de différentielle nulle est constante. Début du chapitre sur les ensembles de R^n définis par des fonctions. Courbes paramétrées. Notes pour le cours 7.
Cours 8 (5/11) : Les courbes paramétrées : longueur d'une courbe, paramétrage unitaire (ou normal). Nappes paramétrées : plan tangent. Courbes de niveau : tangentes.
Cours 9 (12/11) : Plan tangent à une surface de niveau. Théorèmes d'inversion locale et des fonctions implicites. Début du chapitre sur l'optimisation : extrema libres, le cas de la dimension 1 (utilisation des deux premières dérivées pour repérer un extremum local). Notes pour les cours 8 et 9.
Cours 10 (19/11) : Extrema libres : développement de Taylor à l'ordre 2 d'une fonction numérique de n variables, points critiques, natures des points critiques et matrices hessiennes. Extrema liés : optimisation sous contrainte, théorème des extrema liés (une contrainte). Notes pour le cours 10.
Cours 11 (26/11) : Extrema liés (plusieurs contraintes). Intégration des fonctions de plusieurs variables. Définition. Intégration par tranches. Exemples de calculs.
Cours 12 (3/12) : Changements de variables. Remarques sur le déterminant. Exemples de calculs. Intégrales de surface. Définition. Calcul de l'aire de la sphère. Notes pour les cours 11 et 12.