Sur cette page, j'ai réuni quelques textes mathématiques.

Géométrie Complexe

Les notes (en français) de mon cours doctoral sur la finitude des groupes fondamentaux locaux des singularités klt (d'après Lukas Braun) : cours 1, cours 2 et cours 3.

Un texte retraçant les arguments de A. Nadel et S. Frankel concernant l'étude du revêtement universel des variétés canoniquement polarisées.

Dans ces notes, j'ai reproduit les arguments de Sandrine Leroy concernant le cas nilpotent de la conjecture de Shafarevich. Cette approche utilise de manière essentielle les variétés d'Albanese supérieures introduites par Richard Hain.

Prenant pour alibi l'étude du groupe de Higman (et son caractère non kählérien), je retrace dans ces notes les arguments de M. Gromov et R. Schoen concernant les applications (pluri)harmoniques vers les arbres.

Des textes un peu plus anciens :

• Quelques aspects de l'étude d'une hypersurface complexe à singularité isolée : développements asymptotiques de fonctions obtenues par intégration dans les fibres, polynômes de Bernstein et construction de Deligne pour les connexions méromorphes régulières. pdf
• Une caractérisation des variétés algébriques affines en termes d'exhaustion psh et de croissance du volume : mesures de Monge-Ampère, estimations L² et courants à croissance minimale. pdf
• Le théorème de l'indice L² d'Atiyah une démonstration utilisant les techniques de l'équation de la chaleur (voir également l'appendice C de ma thèse). pdf

Théorie des Groupes

Avec un peu d'arithmétique parfois...

• Groupes finis : caractérisation des entiers n vérifiant "tout groupe d'ordre n est cyclique (resp. abélien)".
• Théorème de Burnside : une démonstration du théorème de Burnside d'après les exercices du livre de J.-P. Serre (Représentations linéaires des groupes finis).
• Fonction zeta : correction du sujet d'agreg de 1975 portant sur le théorème de Hardy (infinité de zéros de la fonction zeta sur la droite critique). Avant de se jeter sur la correction, voici le sujet.
• Morphismes de Hopf : ce texte explique les liens entre la cohomologie d'une variété et celle de son groupe fondamental. J'ai essayé de décrire ces liens de la façon la plus "concrète" possible...
• Invariants des groupes finis : en essayant de comprendre un peu mieux les singularités quotients, j'ai découvert ce très beau résultat de Claude Chevalley qui affirme (entre autres choses) que les invariants d'un groupe de réfléxions forment une algèbre de polynômes et que le quotient correspondant est donc lisse.
• Groupes à croissance polynomiale : le fameux théorème de Gromov décrit en effet les groupes virtuellement nilpotents comme étant ceux ayant une croissance polynomiale. La démonstration de ce résultat frappant (qui marque d'ailleurs le début de la théorie géométrique des groupes) a reçu récemment plusieurs simplifications par B. Kleiner, Y. Shalom et T. Tao.
• Le groupes des rotations rationnelles : contrairement à son grand frère réel, le groupe des rotations à coefficients rationnels n'est pas simple. Cette note développe des exercices du Cours d'algèbre de Daniel Perrin.

Notes de Groupes de Travail

Les notes de mes exposés au groupe de travail (2005-2006) sur les systèmes pluricanoniques des variétés de type général (d'après Hacon-McKernan, Takayama, Tsuji) :

• 1^er exposé : généralités sur les idéaux multiplicateurs (points de vue algébriques et analytiques).
• 2^ème exposé : extensions de formes pluricanoniques, cas des hypersurfaces.

Géodésiques dans l'espace des métriques kählériennes : ces notes, écrites en collaboration avec Philippe Eyssidieux d'après un exposé de Sébastien Boucksom, donnent un aperçu de la démonstration du théorème de X.X. Chen sur l'existence de géodésiques faibles dans l'espace des métriques kählériennes (d'une variété kählérienne compacte donnée).