Licence de mathématiques
Module INTL
Intégration
Modalités de contrôle des connaissances.
La note finale sera donnée par la formule : max(E,(E+CC)/2), dans laquelle E désigne la note obtenue à l'épreuve d'une durée de deux heures qui se déroulera après la fin des cours et CC la note de contrôle continu. La note CC sera calculée de la façon suivante. Vous aurez deux notes sur 20 ou 40 (suivant la durée) pour deux interrogations d'une durée de 1 ou 2 heure(s) (I1 et I2), une note sur 10 points pour un devoir à la maison (DM). La somme de ces notes ramenée à une note sur 20 sera CC.
Les deux contrôles d'une heure se dérouleront les vendredis 11 octobre et 15 novembre de 10h15 à 12h dans la salle des examens du bâtiment 27.
En cas d'absence injustifiée à un contrôle la note attribuée est 0. Un créneau d'une heure sera fixé ultérieurement pour une épreuve destinée aux étudiants qui auraient été absents et auraient justifié leur absence à l'un des deux contrôles (les justificatifs d'absence sont à déposer auprès de Véronique Le Goff). Les personnes ne pouvant être présents à aucun des deux contrôles ne se verront pas attribuer de note CC (leur note en INTL sera la note E).
Devoirs
Références
Pour compléter vos notes de cours vous pouvez utiliser le cours de Jean-Christophe Breton.
Thibaut Deheuvels enseigne le même cours à l'ENS de Rennes pour les étudiants du groupe magistère. Vous pourrez trouver ici des documents proposés par Thibaut Deheuvels.
D'autres références : un cours de Charles Suquet, professeur à l'université de Lille, les livres de Rudin, Analyse réelle et complexe (pas tous les chapitres) ou de Billingsley, Probability and measure (pas tous les chapitres non plus).
Voici
quelques livres où vous trouverez des informations sur la théorie
des ensembles et les manipulations qui vont avec :
--
Mathématiques Tout-en-un pour la licence (Ramis, Warusfel ; Niveau
1, le chapitre appelé Fondements),
--
Analyse mathématique, tome 1 (Godement, le chapitre appelé
Ensembles et fonctions),
--
Cours d'algèbre du même Godement (les cinq ou six premiers
chapitres).
Seuls
le premier et le troisième proposent des exercices, mais le chapitre
indiqué du deuxième est plus condensé et est agréable à lire.
Deux textes sur l'histoire de la théorie de Lebesgue : l'un de Jean-Pierre Kahane, l'autre d'Yves Meyer.
Feuilles d'exercices
Avancement du cours
Cours 1 (3/9) : Introduction : intégrale de Riemann et intégrale de Lebesgue. Préliminaires ensemblistes. Algèbre sur un ensemble.
Cours 2 (4/9) : Tribu sur un ensemble. Tribu engendrée par un ensemble de parties. Tribu borélienne sur R. Exercices 1, 2, 3, 4, 6 de la feuille 1.
Cours 3 (10/9) : Mesure sur un espace mesurable. Exemples. Mesure de probabilité, mesure finie, mesure sigma-finie. Croissance, croissance séquentielle, sous-additivité. Exercice 13.
Cours 4 (11/9) : Différents exercices de la feuille 1.
Cours 5 (17/9) : Fonctions mesurables. Composition. Les fonctions réelles continues sont mesurables (quand on munit R de la tribu borélienne). Couples de fonctions mesurables. Sommes de fonctions mesurables. Produit de fonctions mesurables. Sup, inf, limsup et liminf d’une suite de fonctions mesurables. Une limite simple d’une suite de fonctions mesurables est mesurable.
Cours 6 (18/9) : Exercices 9, 18. Commentaires sur les exercices 19, 20.
Cours 7 (24/9) : Fonctions étagées. Une fonction mesurable positive est limite d’une suite croissante de fonctions étagées. Intégrale d’une fonction positive. Propriétés (croissance, cas de nullité, inégalité de Markoff). Théorème de convergence monotone. Linéarité de l’intégrale (coefficients et fonctions positifs).
Cours 8 (25/9) : Exercices 15 et 16 de la feuille 1, exercice 1 de la feuille 2.
Cours 9 (1/10) : Lemme de Fatou. Intégration des fonctions à valeurs dans R ou C. Propriétés (croissance, cas de nullité, linéarité). Théorème de convergence dominée.
Cours 10 (2/10) : Exercices 2, 3, 7 de la feuille 2. Démonstration de l’additivité de l’intégrale pour les fonctions pas forcément positives. Cas d’égalité dans l’inégalité « module de l’intégrale inférieur à l’intégrale du module » pour les fonctions à valeurs complexes intégrables.
Cours 11 (8/10) : Théorèmes de continuité et de dérivabilité sous le signe intégrale. Tribu complétée. Formule de transfert.
Cours 12 (9/10) : Exercice 8 de la feuille 3.
Cours 13 (15/10) : Formule de transfert (fin). Séries et intégrale de Lebesgue pour la mesure de comptage. Intégrale de Riemann et intégrale de Lebesgue pour la mesure de Lebesgue. Théorème des classes monotones. Unicité de la mesure de Lebesgue.
Cours 14 (16/10) : Commentaires sur le DS1. Exercices 4 et 7 de la feuille 3. Exercice 13 de la feuille 2 à faire pour la semaine prochaine.
Cours 15 (22/10) : Tribu produit. Mesure produit de deux mesures sigma-finies. Théorème de Fubini-Tonelli.
Cours 16 (23/10) : Exercices 11 (en partie), 12, 13 de la feuille 2, exercice 3 de la feuille 3. Existence de la mesure de Lebesgue : posée en devoir facultatif.
Cours 17 (5/11) : Théorème de Fubini. Remarques sur la mesure de Lebesgue sur R^d. Enoncé du théorème de changement de variables dans R^d.
Cours 18 (6/11) : Remarques sur le DM. Exercices 1, 2, 3 de la feuille 4.
Cours 19 (12/11) : Changement de variables. Espaces Lp : rappels sur la convexité, les ensembles Lp sont des espaces vectoriels.
Cours 20 (13/11) : Exercices 5, 8, 10 de la feuille 4.
Cours 21 (19/11) : Espaces Lp : inégalités de Hölder, Minkowski. Norme Lp. Convolution : définition, exemples.
Cours 22 (20/11) : Remarques sur le DS2. Exercices 11, 9 et 7 en partie de la feuille 4.
Cours 23 (26/11) : Convolution : de deux fonctions L1, dérivabilité de la convolée par des fonctions C¹ à support compact, densité des fonctions indéfiniment différentiables à support compact dans les espaces Lp (p fini), uniforme continuité de l’opérateur de translation dans Lp (p fini).
Cours 24 (27/11) : Propriétés de la convolée d’une fonction Lp avec une fonction Lq où p et q sont conjugués. Identités approchées. Approximation dans Lp (p fini) d’une fonction par convolution avec une suite formant une identité approchée.