Licence de mathématiques Module INTL
Intégration
Modalités de contrôle des connaissances.
La note finale sera donnée par la formule : max(E,(E+CC)/2), dans laquelle E désigne la note obtenue à l'épreuve d'une durée de deux heures qui se déroulera après la fin des cours et CC la note de contrôle continu. La note CC sera calculée de la façon suivante. Vous aurez deux notes sur 20 ou 40 (suivant la durée) pour deux interrogations d'une durée de 1 ou 2 heure(s) (I1 et I2), une note d'oral sur 10 (O), une note sur 10 points pour un devoir à la maison (DM). La somme de ces notes ramenée à une note sur 20 sera CC.
Les deux contrôles d'une heure se dérouleront au cours des semaines du 11 octobre et du 15 novembre.
En cas d'absence injustifiée à un contrôle la note attribuée est 0. Un créneau d'une heure sera fixé ultérieurement pour une épreuve destinée aux étudiants qui auraient été absents et auraient justifié leur absence à l'un des deux contrôles (les justificatifs d'absence sont à déposer auprès de Véronique Le Goff). Les personnes ne pouvant être présents à aucun des deux contrôles ne se verront pas attribuer de note CC (leur note en INTL sera la note E).
Devoirs
Références
J'utiliserai le cours écrit par Jean-Christophe Breton qui enseignait INTL ces dernières années. Cours de Jean-Christophe Breton.
Thibaut Deheuvels enseigne le même cours à l'ENS de Rennes pour les étudiants du groupe magistère. Vous pouvez trouver ici des documents proposés par Thibaut Deheuvels.
D'autres références : un cours de Charles Suquet, professeur à l'université de Lille, les livres de Rudin, Analyse réelle et complexe (pas tous les chapitres) ou de Billingsley, Probability and measure (pas tous les chapitres non plus).
Deux textes sur l'histoire de la théorie de Lebesgue : l'un de Jean-Pierre Kahane, l'autre d'Yves Meyer.
Feuilles d'exercices
Avancement du cours
Cours 1 (5/9) : Introduction. Algèbre, tribu sur un ensemble. Manipulations ensemblistes.
Cours 2 (6/9) : Exercices 4, 8.
Cours 3 (12/9) : Exercice 12 de la feuille 1. Tribu engendrée par un ensemble de parties. Tribu borélienne sur un espace topologique. Dénombrabilité.
Cours 4 (13/9) : Exemples de réunions d'intervalles. Exercice 16, Exercice 9 de la feuille 1. Exercice 10 à comprendre pour la prochaine fois.
Cours 5 (19/9) : Mesure sur un espace mesurable, espace mesuré. Vocabulaire (mesure finie, sigma-finie, atome,...). Propriétés d'une mesure.
Cours 6 (20/9) : Exercices 10 et 17 de la feuille 1. Retour sur les cardinaux infinis. Ensembles négligeables, tribu complétée. Théorème des classes monotones.
Cours 7 (26/9) : Théorème des classes monotones (démonstration). Application : unicité de mesure. Exercice 6 de la feuille 2. Début du chapitre 2 : intégration des fonctions mesurables. Fonctions mesurables. La construction de la mesure de Lebesgue ne sera pas traitée en cours. Elle est proposée en devoir.
Cours 8 (27/9) : Exercices 1 et 9 (de la feuille 2). Fonctions mesurables (suite) : stabilité par composition, par opérations arithmétiques sur les fonctions mesurables à valeurs dans R.
Cours 9 (3/10) : Exercices 10 et 11. Une limite simple d'une suite de fonctions mesurables est mesurables. Fonctions étagées. Intégrale d'une fonction étagée positive ou nulle.
Cours 10 (4/10) : Intégrale d'une fonction étagée positive ou nulle. Propriétés (croissance, linéarité). Intégrale d'une fonction mesurable positive ou nulle. QCM donné l'an passé. Exercice 13.
Cours 11 (10/10) : Intégrale d'une fonction mesurable positive ou nulle. Croissance. Théorème de convergence monotone. Linéarité. Autres exemples d'applications.
Cours 12 (11/10) : Exercices 4 et 16. Exercice 6 du DS donné le 10 octobre.
Cours 13 (17/10) : Lemme de Fatou. Intégration des fonctions à valeurs complexes. Propriétés. Théorème de convergence dominée.
Cours 14 (18/10) : Théorème de convergence dominée (démonstration). Continuité et dérivabilité d'intégrales dépendant d'un paramètre.
Cours 15 (24/10) : Séance d'exercices : exercice 8 de la feuille 2, exercices 5 et 6 de la feuille 3.
Cours 16 (25/10) : Séance d'exercices : exercice 10 de la feuille 3, exercice 11 de la feuille 1.
Cours 17 (7/11) : Tribu produit. Mesure produit de deux mesures sigma-finies.
Cours 18 (8/11) : Théorème de Fubini-Tonelli. Théorème de Fubini. Changements de variables. Exercice 5 de la feuille 4.
Cours 19 (14/11) : Séance d'exercices.
Cours 20 (15/11) : Changements de variables. DS 2.
Cours 21 (21/11) : Espaces Lp.
Cours 22 (22/11) : Théorème de Riesz-Fischer. Exercices. Au sujet de la dernière question du DS2 : un calcul.
Cours 23 (28/11) : Convolution. Définition. Convolution de fonctions L^1, de deux fonctions bornées dont une à support compact. L'ensemble des fonctions continues à support compact est dense dans L^p (1<=p<infini).
Cours 24 (29/11) : Exercices 6, 8 de la feuille 4, 1, 2, 6 de la feuille 5. Convolution (suite et presque fin).
Cours 24,5 (5/12) : Convolution (fin). Commentaires sur les exercices 8 et 9. Sur un résultat d'approximation en norme Lp : une démonstration.