Miguel Rodrigues

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Topologie des espaces métriques

Cours

Le cours ne suit à la lettre aucun livre précis mais il s'inspire de :

Le cours s'étale sur vingt-quatre heures.

Plan de l'année 2016-2017 :

  1. Espaces métriques :
    1. Distances : définition, distance usuelle sur R, distance euclidienne, distance triviale, distances géodésiques ; espaces normés, normes lp sur Rn; distance induite sur une partie, distances produit, distance image-réciproque par une injection, norme image-réciproque par un morphisme injectif, opérations sur les distances et applications sous-additives.
    2. Géométrie des espaces métriques : seconde inégalité triangulaire ; boules ouvertes et fermées, exemples usuels ; bornés, diamètre ; distance à un ensemble, distance de Hausdorff ; équivalence métrique, équivalence des normes, normes lp sur Rn, cas de la dimension finie, contre-exemple en dimension infinie.
  2. Notions de topologie :
    1. Topologie des espaces métriques : ouverts, fermés, cas des boules et des intervalles, stabilité du caractère ouvert par réunion quelconque ou intersection finie, stabilité du caractère fermé par intersection quelconque ou réunion finie, caractérisation des ouverts comme réunion de boules ouvertes, voisinage, comportement par rapport à l'inclusion, stabilité par intersection finie non vide, notion de localité, points adhérents, points intérieurs, adhérence, intérieur, opérations usuelles, intérieur et adhérence des boules des espaces normés, points isolés, espaces discrets, frontière, opérations usuelles, caractérisations par la distance aux ensembles, densité, densité des rationnels et des irrationnels dans R ; équivalence topologique.
    2. Notions de convergence : limite, continuité en un point, continuité, unicité de la limite, composition des limites, cas particuliers des infinis, cas des suites, convergence des sous-suites, applications Lipschitziennes, continuité des applications localement Lipschitziennes, continuités de l'application distance, de la distance à une partie non vide, des injections canoniques, de la projection canonique, cas des applications à valeurs dans un produit, continuité de la somme et du produit scalaire-vecteur sur un espace vectoriel normé, normes d'algèbre, continuité du produit, limites des applications localement constantes, cas où la limite est un point isolé ; caractérisation séquentielle des notions topologiques, caractérisation topologique de la limite et de la continuité, homéomorphismes et distances images-réciproques ; application à valeurs fonctionnelles, application définie sur un produit, convergence uniforme, convergence simple, théorème d'interversion de limites, contre-exemple.
    3. Compacité : définitions, propriété de Borel-Lebesgue, valeur d'achérence d'une suite, parties compactes et relativement compactes, bornétude et fermeture des compacts ; intersection, union finie et produit fini de compacts, image par une application continue, applications continues sur les compacts (bornes et uniforme continuité) ; compacts et relativement compacts des espaces vectoriels normés de dimension finie, équivalence des normes en dimension finie, continuité des applications multi-linéaires en dimension finie.
    4. Connexité : définitions, application continue d'un connexe vers un discret, parties connexes ; image par une application continue, adhérence d'un connexe, union de connexes deux à deux d'intersection non vide, composantes connexes, produit de connexes ; connexes de la droite réelle, connexité par arcs, cas des ouverts des espaces vectoriels normés, convexité des boules des espaces vectoriels normés, adhérence d'un convexe, union de connexes par arcs deux à deux d'intersection non vide, image d'un connexe par arcs par une application continue, produit de connexes par arcs ; théorème des valeurs intermédiaires.
  3. Complétude :
    1. Suites de Cauchy et espaces complets : suites de Cauchy, bornétude des suites de Cauchy, une suite convergente est de Cauchy, convergence des suites de Cauchy ayant une valeur d'adhérence ; espaces complets, espaces de Banach, complétude des compacts, complétude des espaces dont les bornés sont relativement compacts, cas des espaces normés de dimension finie, caractérisation de la compacité par la pré-compacité ; une partie complète est fermée, parties fermées des complets, intersection de complets, union finie de complets, produit de complets ; complétude de l'ensemble des applications à valeurs dans un complet pour la distance uniforme tronquée, cas des applications continues à valeurs dans un complet ; complété, complété de l'ensemble des rationnels, complété de l'ensemble des applications réelles continues sur un segment pour les normes de Lebesgue.
    2. Un peu d'analyse dans les espaces de Banach : séries absolument (ou normalement) convergentes, caractérisation de la complétude par la convergence des séries absolument convergentes, permutation des termes d'un série absolument convergente, développement en série de la fonction inverse sur une algèbre de Banach; point fixe des applications strictement contractantes, théorème de Banach, itérés de Picard ; produit scalaire, espaces euclidiens, inégalité de Cauchy-Schwarz, norme associée à un produit scalaire, espaces de Hilbert, identité du parallélogramme, projection sur un convexe fermé, projection orthogonale sur un sous-espace fermé.
  4. Applications linéaires et multi-linéaires :
    1. Normes subordonnées : continuité des applications multi-linéaires, équivalence des normes topologiquement équivalentes ; normes subordonnées, sous-multiplicativité, complétude quand l'espace des valeurs est complet, développement en série de la fonction inverse.
    2. Spectre d'un opérateur continu : spectre, valeurs propres, compacité du spectre ; lemme sous-additif, rayon spectral ; caractérisation des opérateurs dont la suite des puissances tend vers zéro, existence en dimension finie de normes permettant d'approcher le rayon spectral par la norme subordonnée.

Travaux dirigés

Les travaux dirigés s'étalent sur vingt-quatre heures.

Fiches :

  1. Espaces métriques
  2. Premières notions de topologie métrique
  3. Notion de convergence
  4. Compacité, connexité
  5. Complétude
  6. Applications linéaires

Évaluations

La note finale sera donnée par le maximum entre la note du contrôle final et la moyenne de la note de l'épreuve finale et de celle de contrôle continu.

Le contrôle continu est composé de deux parties : la première a eu lieu le 14 octobre et la seconde le 4 novembre .

Sujets :

Sujets 2015-2016 :