M2 research. Goulwen FICHOU

Real algebraic geometry

Programme.

Les objets de la géométrie algébrique réelle sont naturellement des sous-ensembles d'un espace affine R^n, déterminés par l'annulation d'un (seul !) polynôme. L'étude de ces ensembles mêle alors naturellement des propriétés algébriques (de type Nullstellensatz) tout comme des propriétés topologiques (quelle est la topologie de ces ensembles ?).

Ces ensembles viennent naturellement avec des anneaux de fonctions, qui permettent de refléter ces différentes propriétés : des fonctions polynomiales bien sûr, mais plus généralement des fonctions de Nash (analytiques et vérifiant une équation polynômiale à coefficients polynomiaux, comme f : x -> (1+x^2)^{1/2} qui satisfait f^2-1-x^2=0) ou encore des fonctions analytiques par arcs (c'est-à-dire des fonctions qui deviennent analytiques le long de toute courbe analytique, comme (x,y) -> x^3/(x^2+y^2) ou encore (x,y) -> (x^4+y^4)^{1/2}). Certains de ces anneaux sont noethériens, d'autres pas, mais tous permettent de mieux comprendre les ensembles algébriques réels.

Dans ce cours, on propose une introduction à la géométrie algébrique à travers l'étude des ensembles algébriques réels. On portera une attention particulière à l'étude des différents anneaux de fonctions que l'on peut considérer, notamment à travers l'exemple de l'anneau non-noethérien des fonctions semi-algébriques analytiques par arcs, dont les lieux des zéros forment la classe surprenante des ensembles symétriques par arcs.

Bibliography

J. Bochnak, M. Coste, M.-F. Roy : Real algebraic geometry, Springer, (1998)

M. Coste : An introduction to semialgebraic geometry, Pisa

M. Coste : Real algebraic sets, in Arc spaces and additive invariants in real algebraic and analytic geometry, Panor. Synthèses. Soc. Math. France 24, 33-67 (2007)

K. Kurdyka, A. Parusiński : Arc-symmetric sets and arc-analytic mappings, in Arc spaces and additive invariants in real algebraic and analytic geometry, Panor. Synthèses. Soc. Math. France 24, 33-67 (2007)

F. Mangolte : Variétés algébriques réelles, SMF, (2017)

Fichiers des cours

Introduction.

Lecture on semi-algebraic sets.

Lecture on real closed fields.

Lecture on real algebra.

Lecture on real algebraic varieties.

Lecture on links of semialgebraic sets.

Lecture on (algebraically) constructible functions.

Lecture on the virtual Poincaré polynomial.

Note

Un examen (des éléments de correction) aura lieu le jeudi 25 février de 10h15 à 12h15. Le devoir maison est à rendre le 10 février (des éléments de correction). Note finale max(E,(E+DM)/2).

Source d'exercices :

sur les semi-algébriques, voir le texte de Michel Coste

sur les corps réels, voir le livre "Algebra" de Serge Lang

devoir maison 2019, examen 2019

devoir maison 2020, examen 2020