L1 Module AG2. Responsable: Goulwen FICHOU

Algèbre et géométrie 2

Programme.

Le programme officiel du module est disponible ici. Une version plus détaillée est là. On traitera en plus les nombres premiers et les congruences (qui n'ont pas été traité en AG1 au premier semestre). Du coup, la partie sur les groupes sera d'autant réduite.

Les enseignants du module.

Groupe 1 : Eric Jourdain
Groupe 2 : Francois Maucourant
Groupe 3 : Jizhuang Shih
Groupe 4 : Goulwen Fichou

Modalités de contrôle des connaissances

La note finale sera donnée par la formule max(E,(E+CC)/2), dans laquelle E désigne la note sur 20 obtenue à l'épreuve terminale (d'une durée de deux heures) et CC est la note sur 20 de contrôle continu.

WIMS

ici

En cas d'absence (justifiée ou injustifiée) à l'examen partiel, la note de CC attribuée est 0 (la note en AG2 sera donc la note E).

Contrôle du 2 février.

Références bibliographiques

Une bonne partie du contenu est couvert par le livre "Algèbre linéaire" de Joseph Grifone. On pourra aussi consulter le début du livre de J.-P. Escofier intitulé "Tout l'algèbre pour la licence".

Feuilles d'exercices

Pour vous exercez, vous trouverez des exercices en ligne sur la base raisonnée d'exercices BRAISE de mathématiques de l'université. Vous pouvez commencer en cliquant sur "aller sur la base sans s'identifier", puis "choix d'exercices par mot clés", et choisir le thème qui vous convient dans "Nature de la tâche".

Vous trouverez aussi des exercices corrigés (et des vidéos de cours) sur le site Exo7, dans la page première année.

Déroulement (prévu) du cours

Cours 1 : Introduction. Congruences. Lien avec le reste de la division euclidienne. Compatibilité avec la somme, le produit. Exemple de la preuve par 9. Résolution d'équation du premier degré aux congruences. Théorème chinois (sans démonstration).

Cours 2 : Nombres premiers. Crible d'Eratosthène. Lemme d'Euclide, factorisation, valuation p-adique. Petit théorème de Fermat. Infinité de l'ensemble des nombres premiers.

Cours 3 : Droites du plan : équations paramétrique et cartésienne. Droites et plans de l'espace : équations paramétrique et cartésienne. Lien avec les systèmes linéaires.

Cours 4 : Systèmes linaires. Système échelonné réduit, ensemble de solution. Opérations élémentaires. Méthode du pivot de Gauss (sur un exemple). Cas homogène.

Cours 5 du 30/1/2018 : Calcul matriciel. Somme, produit par un scalaire et produit de matrices. Puissance d'une matrice.

Cours 6 du 6/2/2018 : Calcul matriciel. Formule du binôme cas commutatif. Inverse d'une matrice, unicité, inverse d'un produit. Matrice des opérations élémentaires. Calcul de l'inverse via le pivot de Gauss.

Cours 7 du 12/2/2018 : Démonstration de l'obtention de l'inverse par la méthode du pivot. Rang d'une matrice. Transposition, matrices symétriques et anti-symétriques. Début du cours sur l'espace vectoriel R^n.

Cours 8 du 13/2/2018 : L'espace vectoriel R^n. Sous-espaces vectoriel. Famille génératrice, libre. Définition d'une base et de la dimension. Application linéaire (définition par des formules linéaires, matrice dans la base canonique et exemples géométriques).

Cours 9 du 19/2/2018 : L'espace vectoriel R^n (suite). Composition d'applications linéaires. Matrice de l'application inverse. Linéarité des applications linéaires. Image et noyau. Rang. Début du cours sur les espaces vectoriels : définition, exemples (R^n, fonctions de R dans R).

Cours 10 du 20/2/2018 : Espaces vectoriels (suite). Unicité de l'élément neutre, du symétrique. Sous-espaces vectoriels. Intersection, somme.

Cours 11 du 27/2/2018 : Somme directe de sous-espaces vectoriels. Applications linéaires : définition, exemples, composition, inverse. Début du cours sur les espaces vectoriels de dimension finie. Familles libres, génératrices.

Cours 12 du 13/3/2018 : Espaces vectoriels de dimension finie. Base. Toutes les bases ont le même cardinal en dimension finie. Cardinal possible d'une famille libre, génératrice. Dimension d'une somme, intersection.Rang d'une famille de vecteurs.

Cours 13 du 20/3/2018 : Espaces vectoriels de dimension finie. Existence du supplémentaire. Rang d'une famille de vecteurs. Lien avec le rang d'une matrice. Méthode du pivot de Gauss sur les colonnes d'une matrice.

Cours 14 du 27/3/2018 : Applications linéaires en dimension finie. Théorème du rang et applications. Rang d'une application linéaire. Matrice d'une application linéaire d'une base vers une autre base. Somme et composition d'applications linéaires. Lien entre isomorphisme et matrices inversibles.

Cours 15 du 3/4/2018 : Applications linéaires en dimension finie. Changement de bases. Matrice de passage. Application aux coordonnées d'un vecteur, à la matrice d'une application linéaire.