Algèbre et Géométrie 2 (2022-2023)
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Module AG2 de la première année de la licence de mathématiques de Rennes 1
Le programme du module
Le programme du module tel qu'il figure dans l'annuaire des formations
est consultable ici. La partie sur les groupes ne sera pas traitée
faute d'un volume horaire suffisant.
Les références bibliographiques ci-dessous peuvent s'avérer utile.
Contacter le responsable du module
Merci d'utiliser cette adresse (à l'exclusion de toute autre)
david.bourqui+AG2@univ-rennes1.fr
En cas de question ou de demande de précision, merci de vérifier
soigneusement si la réponse ne se trouve pas déjà sur cette page ou
parmi les infos déjà envoyées via la liste de diffusion.
Les enseignants du module
- Cours : David Bourqui
- Groupe de TD 1 : Éric Jourdain
- Groupe de TD 2 : David Bourqui
- Groupe de TD 3 : Julien Sebag
- Groupe de TD 4 : Florian Ivorra
Modalités de contrôle des connaissances
Vous aurez au cours du semestre cinq épreuves écrites d'une durée
d'une heure chacune. Vous trouverez ci-dessous les dates de ces
contrôles, merci d'en prendre note dès maintenant. Les modalités plus
précises seront données en temps voulu. Pour les CC ayant lieu pendant
une séance de cours ou de TD, la séance reste d'une durée de deux
heures, même si le CC lui-même ne dure qu'une heure.
- le mardi 17 janvier 2023 (pendant la séance de TD)
- le mercredi 8 février 2023 (pendant la séance de cours)
- le mardi 28 février 2023 (pendant la séance de TD)
- le mercredi 22 mars 2023 (pendant la séance de cours)
- le mercredi 12 avril 2023 de 8h à 9h
Votre note finale NF au module AG2 sera la moyenne des cinq notes obtenues à ces
contrôles écrits, augmentée de la note WIMS rapportée à une note sur 0.5.
Ainsi si vous avez 2/2 en note WIMS, la note WIMS vous rapporte 0.5 point de plus sur la note finale.
Principe de seconde chance :
Si les deux conditions suivantes sont réunies
(et uniquement dans ce cas là)
- la note finale NF dont le calcul est expliqué ci-dessus
est strictement inférieure à 10 ; - la moyenne des quatre meilleures notes, augmentée de la note WIMS
rapportée à une note sur 0.5 est supérieure à 10.
alors votre note finale en AG2 sera 10/20
Dans tous les autres cas votre note finale reste la note NF
dont le calcul est expliqué ci-dessus.
Épreuve de substitution :
En cas d'absence(s) justifiée(s) et si nécessaire, vous passerez une
épreuve écrite de substitution. Cette épreuve aura lieu a priori la
semaine du 1er mai.
Cours : contenu et déroulement
Le cours comporte 7 parties
- Droites du plan, droites et plans de l'espace.
- Systèmes linéaires.
- Calcul matriciel.
- L'espace vectoriel Rn
- Espaces vectoriels.
- Espaces vectoriels de dimension finie.
- Applications linéaires en dimension finie.
Support écrit pour le chapitre 1
NB : Il n'y aura pas de notes de cours disponibles, mais je vous renvoie si nécessaire aux références ci-dessous.
Vous trouverez ici en temps voulu ce qui a été fait dans les séances
de cours passées et le programme prévisionnel des séances de cours
à venir.
Séances passées
Séances 1 & 2
Droites du plan, droites et plans de l'espace.
support écrit pour le chapitre 1
Droites du plan : définition, représentation paramétrique et équation cartésienne.
Intersection de deux droites du plans ; lien avec les systèmes linéaires.
Droites de l'espace : définition, représentation paramétrique.
Plans de l'espace : définition, représentation paramétriques et équation cartésienne.
Droites de l'espace : système d'équations cartésiennes
Intersections dans l'espace ; exemples ; lien avec les systèmes linéaires.
Séance 3
Systèmes linéaires.
Exemples en première approche de résolution par la méthode du pivot de Gauss.
Définition d'un système linéaire, ensemble de solutions, systèmes équivalents.
Systèmes homogènes.
Séance 4
Systèmes linéaires.
Système échelonné, échelonné réduit.
Résolution d'un système échelonné réduit.
Opérations élémentaires sur les systèmes.
Méthode du pivot de Gauss.
Systèmes homogènes avec strictement plus
d'inconnues que d'équations.
Séance 5
Calcul matriciel.
Définitions (matrices, matrices lignes, colonnes, carrées). Égalité de deux matrices.
Somme de matrices, produit d'une
matrice par un scalaire.
Produit de matrices.
Séance 6
Calcul matriciel.
Puissances d'une matrice carrée. Formule du binôme.
Inverse d'une matrice, unicité, inverse de l'inverse.
Inverse d'un produit de matrices. Inverse d'une matrice 2x2.
Matrices des opérations élémentaires.
Séance 7
Calcul matriciel.
Forme échelonnée réduite, obtention par la méthode
du pivot de Gauss, rang d'une matrice.
Calcul de l'inverse par la méthode du pivot.
L'espace vectoriel Rn.
Définition. Propriétés héritées des propriétés des sommes de matrices
et produit d'une matrice par un scalaire.
Séance 8
CC1
L'espace vectoriel Rn.
Sous-espaces vectoriels.
Exemple : ensemble des solutions d'un système homogène.
Combinaisons linéaires de vecteurs.
Familles libres.
Séance 9
L'espace vectoriel Rn.
Rang d'une famille de vecteurs, lien entre liberté et rang.
De toute famille de vecteurs de rang r on peut extraire une famille
libre de r vecteurs qui engendre le même espace.
Familles génératrices. Bases. La base canonique de Rn.
Séance 10
L'espace vectoriel Rn.
Exemple de l'ensemble des solutions
d'un système linéaire homogène.
Bases et coordonnées.
Caractérisation des bases de Rn par le rang.
Théorème de la base incomplète.
Dimension d'un sous-espace vectoriel de Rn.
Équations d'un sous-espace vectoriel de Rn.
Séance 11
Applications linéaires. Matrice d'une application linéaire.
Composition d'applications linéaires.
Linéarité et matrice de l'application réciproque d'une application linéaire inversible.
Espaces vectoriels.
Définition abstraite.
Unicité de l'élément neutre, du symétrique, règles de calcul.
Exemples : Kn,
Mn,p(K),
ensemble des applications d'un ensemble X vers K,
cas particuliers (pe suites à valeurs dans K)
Séance 12
Espaces vectoriels.
Extension de certaines définitions et de certains résultats du chapitre sur l'espace vectoriel Rn
Intersection et somme de sous-espaces vectoriels.
Somme directe de sous-espaces vectoriels.
Applications linéaires entre espaces vectoriels : exemples, image.
Séance 13
Séance annulée pour cause de grève
Espaces vectoriels.
Applications linéaires entre espaces vectoriels :
noyau, composition, inverse d'une application linéaire inversible.
Espaces vectoriels de dimension finie.
Préliminaires sur les isomorphismes.
Définition d'un espace vectoriel de dimension finie.
Toutes les bases ont le même cardinal.
Définition de la dimension.
Rang d'une famille finie de vecteurs.
Séance 14
CC4
Espaces vectoriels de dimension finie.
Théorème de la base incomplète. Existence de supplémentaires.
Dimension d'une somme de sous-espaces vectoriels.
Dimension et supplémentaires.
Séance 15
Applications linéaires en dimension finie.
Rang d'une application linéaire.
Théorème du rang.
Un endomorphisme d'un espace de dimension finie
est injectif si et seulement s'il est surjectif
si et seulement s'il est bijectif.
Coordonnées d'un vecteur dans une base.
Changement de bases. Matrice de passage.
Formule de changement de coordonnées.
Matrice d'une application linéaire relativement
à des bases données.
Cas des matrices de passage.
Compatibilité vis-à-vis de la composition et
du produit matriciel.
Matrice d'un isomorphisme.
Effet d'un changement de base sur la
matrice d'un endomorphisme.
Matrices semblables.
Références utiles
Les références suivantes peuvent vous aider dans votre travail (comme
a priori toute autre référence consacrée à l'algèbre de niveau
premier cycle universitaire)
- Le contenu du module (cours et TD) est très fortement inspiré
des chapitres 8 à 12 du cours d'algèbre de première année
disponible librement sur le site Exo7. Des videos de cours sont
également disponibles sur ce même site. - Algèbre linéaire par J. Grifone, ed. Cépaduès (chapitres 1,2,3,5)
- Toute l'algèbre de la licence par J.P. Escofier, ed. Dunod (chapitres 3 à 8)
Par ailleurs, il va de soi que de manière générale un minimum
d'aisance dans la compréhension et la rédaction d'énoncés et
d'arguments mathématiques est attendu de votre part. En cas de doute,
on peut signaler par exemple les références suivantes :
- notes de cours de Marie-Pierre Lebaud
sur la compréhension et la rédaction des énoncés mathématiques - notes de cours de Marie-Pierre Lebaud
sur la compréhension et la rédaction des démonstrations mathématiques.