Algèbre et Géométrie 2 (2021-2022)
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Module AG2 de la première année de la licence de mathématiques de Rennes 1
Le programme du module
Le programme du module tel qu'il figure dans l'annuaire des formations est consultable ici. La partie sur les groupes ne sera pas traitée faute d'un volume horaire suffisant.
Les enseignants du module
- Cours : David Bourqui
- Groupe de TD 1 : Éric Jourdain
- Groupe de TD 2 : Alice Bouillet et Xabier Legaspi Juanatey
- Groupe de TD 3 : Julien Sebag
- Groupe de TD 4 : Florian Ivorra
Modalités de contrôle des connaissances
Vous aurez au cours du semestre cinq épreuves écrites d'une durée d'une heure chacune. Voici les dates de ces contrôles.
- le mercredi 26 janvier 2022 (pendant la séance de cours)
- le vendredi 11 février 2022 (pendant la séance de TD, attention horaire exceptionnel de la séance de TD : 16h15-18h15)
- le mercredi 9 mars 2022 (pendant la séance de cours)
- le lundi 4 avril 2022 (pendant la séance de TD, attention horaire exceptionnel de la séance de TD : 8h-10h)
- le lundi 25 avril 2022 de 10h30 à 11h30 en salle d'examens du bâtiment 27
Votre note au module AG2 sera la moyenne des cinq notes obtenues à ces contrôles écrits, agrémentée d'un bonus WIMS.
Principe de seconde chance : Si la moyenne des cinq notes que vous avez obtenues aux contrôles écrits est strictement inférieure à 10, mais que la moyenne des quatre meilleures notes est supérieure à 10, votre note en AG2 sera de 10/20.
Épreuve de substitution : En cas d'absences justifiées et si nécessaire, vous passerez une épreuve écrite de substitution. Un créneau a été réservé pour ce faire le vendredi 8 avril 2022 de 16h15 à 18h15. Un autre suivra le lundi 2 mai 2022 de 10h30 à 11h30.
Cours : contenu et déroulement
Voici ce qui a été fait dans les séances de cours passées et le programme prévisionnel des séances de cours à venir (repris de la progression de Goulwen Fichou, ancien chargé de cours du module).
Le cours comporte 7 parties, et à chaque partie correspond une feuille de TD
- Droites du plan, droites et plans de l'espace.
- Systèmes linéaires.
- Calcul matriciel.
- L'espace vectoriel Rn
- Espaces vectoriels.
- Espaces vectoriels de dimension finie.
- Applications linéaires en dimension finie.
Il n'y aura pas de poly officiel correspondant au cours, mais je vous renvoie si nécessaire aux références ci-dessous.
Séances passées
Séance 1
Droites du plan, droites et plans de l'espace.
Droites du plan : définition, représentation paramétrique et équation cartésienne. Intersection de deux droites du plans ; lien avec les systèmes linéaires.
Droites de l'espace : définition, représentation paramétrique.
Séance 2
Droites du plan, droites et plans de l'espace.
Plans de l'espace : définition, représentation paramétriques et équation cartésienne. Droites de l'espace : système d'équations cartésiennes
Séance 3
Droites du plan, droites et plans de l'espace.
Intersection dans l'espace ; exemples ; lien avec les systèmes linéaires.
Systèmes linéaires.
Définition d'un système linéaire, ensemble de solutions, systèmes équivalents. Système homogène. Système échelonné, échelonné réduit,
Séance 4
Systèmes linéaires.
Résolution d'un système échelonné réduit.
Opérations élémentaires sur les systèmes. Méthode du pivot de Gauss.
Systèmes homogènes avec strictement plus d'inconnues que d'équations.
Calcul matriciel.
Définitions (matrices, matrices lignes, colonnes, carrées). Égalité de deux matrices.
Séance 5
Calcul matriciel.
Somme de matrices, produit d'une matrice par un scalaire. Produit de matrices, puissances d'une matrice carrée. Formule du binôme.
Inverse d'une matrice, unicité, inverse de l'inverse.
Séance 6
Calcul matriciel.
Inverse d'un produit de matrices. Inverse d'une matrice 2x2.
Matrices des opérations élémentaires. Forme échelonnée réduite, obtention par la méthode du pivot de Gauss, rang d'une matrice. Calcul de l'inverse par la méthode du pivot.
Séance 7
L'espace vectoriel Rn.
Définition. Sous-espaces vectoriels. Exemple : ensemble des solutions d'un système homogène. Combinaisons linéaires de vecteurs.
Séance 8
L'espace vectoriel Rn.
Familles libres, génératrices. Exemple de l'ensemble des solutions d'un système linéaire homogène.
Rang d'une famille de vecteurs, lien entre liberté et rang. De toute famille de vecteurs de rang r on peut extraire une famille libre de r vecteurs qui engendre le même espace.
Séance 9
L'espace vectoriel Rn.
Bases. Théorème de la base incomplète.
Dimension d'un sous-espace vectoriel.
Équations d'un sous-espace vectoriel
Séance 10
L'espace vectoriel Rn.
Applications linéaires. Matrice d'une application linéaire.
Exemples géométriques en dimension 2. Composition d'applications linéaires.
Matrice de l'application inverse d'une application linéaire inversible.
Espaces vectoriels.
Définition abstraite. Unicité de l'élément neutre, du symétrique, règles de calcul.
Exemples : Kn, Mn,p(K), ensemble des applications d'un ensemble X vers K, cas particuliers (pe suites à valeurs dans <b>K</b>)
Séance 11
Espaces vectoriels. Extension de certaines définitions et de certains résultats du chapitre sur l'espace vectoriel Rn
Intersection et somme de sous-espaces vectoriels. Somme directe de sous-espaces vectoriels.
Applications linéaires entre espaces vectoriels : exemples, image, noyau, composition, inverse d'une application linéaire inversible.
Séance 12
Espaces vectoriels. Retour sur les notions d'isomorphisme, d'automorphisme, d'image et de noyau.
Espaces vectoriels de dimension finie. Préliminaires sur les isomorphismes
Séance 13
Espaces vectoriels de dimension finie. Définition. Réduction au cas des espaces vectoriels Kn par isomorphisme.
Toutes les bases ont le même cardinal. Cardinal possible d'une famille libre, génératrice.
Rang d'une famille de vecteurs. Lien avec le rang d'une matrice. Théorème de la base incomplète. Existence de supplémentaires.
Méthode du pivot de Gauss sur les colonnes d'une matrice.
Dimension d'une somme et d'une intersection.
Applications linéaires en dimension finie. Rang d'une application linéaire.
Séance 14
Applications linéaires en dimension finie. Théorème du rang et applications.
Changement de bases. Matrice de passage. Application aux coordonnées d'un vecteur. Matrice d'une application linéaire d'une base vers une autre base. Cas des matrices de passages.
Séance 15
Applications linéaires en dimension finie. Matrice d'une application linéaire d'une base vers une autre base (suite) : exemples.
Somme et composition d'applications linéaires, compatibilité avec la somme matricielle et le produit matriciel
Effet d'un changement de base sur la matrice d'un endomorphisme. Matrices semblables.
Références utiles
Les références suivantes peuvent vous aider dans votre travail (comme a priori toute autre référence consacrée à l'algèbre de niveau premier cycle universitaire)
- Le contenu du module (cours et TD) est très fortement inspiré des chapitres 8 à 12 du cours d'algèbre de première année disponible librement sur le site Exo7. Des videos de cours sont également disponibles sur ce même site.
- Algèbre linéaire par J. Grifone, ed. Cépaduès (chapitres 1,2,3,5)
- Toute l'algèbre de la licence par J.P. Escofier, ed. Dunod (chapitres 3 à 8)
Par ailleurs, il va de soi que de manière générale un minimum d'aisance dans la compréhension et la rédaction d'énoncés et d'arguments mathématiques est attendu de votre part. En cas de doute, on peut signaler par exemple les références suivantes :
- notes de cours de Marie-Pierre Lebaud sur la compréhension et la rédaction des énoncés mathématiques
- notes de cours de Marie-Pierre Lebaud sur la compréhension et la rédaction des démonstrations mathématiques.