Le contenu du cours est largement inspiré par les cours donnés lors des années passées par Goulwen Fichou et Fabien Priziac .

Les cours magistraux seront basés sur le support de cours consultable et téléchargeable ci-dessous, qui sera régulièrement mis à jour à fur et à mesure de l'avancée du semestre :

Voici enfin la progression des cours magistraux :

• Cours 1 : Introduction du chapitre consacré à la dualité linéaire, base duale, matrice de passage d'une base duale à une autre, base antéduale.
• Cours 2 : Hyperplans, Annulateur, application transposée.
• Cours 3 : Introduction du chapitre consacré aux espaces euclidiens : produit scalaire, espace euclidien, norme euclidienne associée (inégalité de Cauchy-Schwarz, inégalité triangulaire), orthogonalité entre deux vecteurs, orthogonal d'un sous-ensemble, orthogonal d'un sev, projection et symétrie orthogonales, bases orthogonales et orthonormales.
• Cours 4 : Procédé d'orthonormalisation de Gram-Schmidt, représentation matricielle du produit scalaire et changement de base, Matrice orthogonale, groupe orthogonal, décomposition QR.
• Cours 5 : Dualité dans les espaces euclidiens, endomorphisme adjoint, endomorphisme orthogonal. Introduction du chapitre consacré aux rappels et compléments sur la réduction des endomorphismes. Valeur propre, sous-espace propre, vecteur propre, spectre, polynôme caractéristique, diagonalisabilité.
• Cours 6 : Polynômes d'endomorphismes et polynômes annulateurs, polynôme minimal, théorème de Cayley-Hamilton, triangularisabilité, réduction suivant les sous-espaces caractéristiques des endomorphismes triangularisables.
• Cours 7 : Blocs de Jordan et réduction sous la forme de Jordan des endomorphismes triangularisables.
• Cours 8 : Introduction du chapitre consacré à l'exponentielle de matrices : norme de matrices, définition de l'exponentielle de matrices, premiers exemples.
• Cours 9 : Propriétés de base de l'exponentielle de matrices, calcul de l'exponentielle de matrices via la réduction de Jordan, résolution des systèmes différentiels linéaires à l'aide de l'exponentielle de matrices.
• Cours 10 : Introduction du chapitre consacré à orthogonalité et réduction, diagonalisabilité dans une base orthonormale des endomorphismes et matrices symétriques, matrices symétriques positives et définies positives, racine carrée d'une matrice symétrique positive.
• Cours 11 : Décomposition polaire, réductibilité des endomorphismes orthogonaux.
• Cours 12 : Endomorphismes des espaces hermitiens. Notion de norme matricielle. Normes matricielles subordonnées, définition du rayon spectral.
• Cours 13 : Norme subordonnée à la norme euclidienne et rayon spectral, convergence de la suite des puissances successives d'une matrice vers la matrice nulle et rayon spectral, conditionnement.
• Cours 14 : Introduction du chapitre consacré aux matrices stochastiques et aux théorèmes de Perron-Frobenius, notions de matrice stochastique et vecteur stochastique, matrices positives, strictement positives, primitives, irréductibles, théorème de Perron.
• Cours 15 : Théorème de Frobenius, matrices stochastiques et primitives, calcul du vecteur d'état limite d'une matrice stochastique et primitive.
• Cours 16 : Introduction du chapitre consacré à la résolution des systèmes linéaires et aux décompositions LU et décomposition de Cholesky, méthode du pivot de Gauss pour la résolution de systèmes linéaires, décomposition LU, décomposition PLU, décomposition de Cholesky.
• Cours 17 : Systèmes surdéterminés, méthode des moindres carrés
• Cours 18 : décomposition en valeurs singulières, pseudo-inverse, méthodes itératives pour la résolution de systèmes

Références

• "Algèbre Linéaire" Joseph Grifone.
• "Algèbre Linéaire" Rémi Goblot.
• "Analyse matricielle" Jean-Etienne Rombaldi.
• "Algèbre" Mirella et Paul Krée, Jacques Vauthier.
• "Cours d'analyse numérique" Raphaèle Herbin