Licence MiaSHS Deuxième année
Module Algèbre III
Algèbre linéaire
Feuilles d'exercices
Feuille 1, Feuille 2, Feuille 3
Des cours en vidéo sur les thèmes du cours
Devoirs posés en 2020 : DS1, DS2, DS3.
Devoirs posés en 2021 : DS1, DS2 (corrigé), DS3 (corrigé).
Devoirs posés en 2022 : DS3 (partiellement corrigé)
Corrigé de l’exercice 7 de la feuille 3
Vidéos d'exercices sur les matrices d'applications linéaires : un, deux.
Vidéos à regarder : déterminants 1, déterminants 2, déterminants 3, déterminants 4 .
Modalités de contrôle des connaissances.
En première session l'évaluation est un contrôle continu décrit ci-dessous. En deuxième session ce sera un examen.
Vous aurez trois notes pour deux interrogations d'une durée de quarante-cinq minutes et une interrogation d'une heure trente. La note finale sera la moyenne de ces notes (avec les coefficients 1, 1, 2).
Les deux contrôles de quarante-cinq minutes se dérouleront les 13 octobre, 17 novembre et le contrôle d’une heure trente le 15 décembre. Ces modalités sont susceptibles de changer suivant mes disponibilités et celles des étudiants et suivant les contraintes sanitaires qui sont elles aussi susceptibles de changer.
En cas d'absence injustifiée la note attribuée est 0. En cas d'absence justifiée à l'un des deux contrôles courts la note correspondante est neutralisée. Un contrôle de rattrapage sera proposé en janvier aux étudiants absents ayant justifié leur absence au contrôle long.
Avancement du cours
Cours 1 (15/9) : Chapitre 1. Matrices. Exemples : matrice associée à un jeu, vecteur gradient associé à une fonction de deux variables, matrice hessienne, matrice associée à un problème de parts de marché. Définition, vocabulaire (matrices carrées, ligne, colonne, triangulaires, diagonales, symétriques…). Opérations sur les matrices : addition, multiplication, propriétés. A préparer pour le premier TD : exercices de 1 à 4 de la feuille 1.
Cours 2 (22/9) : Associativité du produit de matrices, distributivité par rapport à l’addition. Inverse d’une matrice. Inverse d’un produit de matrices inversibles. Produit de matrices diagonales. Matrice diagonalisable. Matrice de technologie. A préparer pour le deuxième TD : exercices de 7, 12, 13 de la feuille 1.
Cours 3 (29/9) : Matrice de technologie (fin). Chapitre 2. Systèmes linéaires. Définition, vocabulaire, algorithme de Gauss-Jordan, inversion d’une matrice grâce à cet algorithme, caractérisation des matrices inversibles, structure de l’ensemble des solutions d’un système linéaire. A préparer pour le troisième TD : exercice 10 de la feuille 1.
Cours 4 (6/10) : Systèmes linéaires : rang, nombre d’inconnues, ensemble des solutions, exemples. Chapitre 3. Espace vectoriel. Sous-espace vectoriel. Sous-espace vectoriel engendré par une partie.
Cours 5 (13/10) : Sous-espace vectoriel engendré par une partie. Application linéaire, exemple, noyau, image. Injectivité. Deuxième heure : DS1.
Cours 6 (20/10) : Famille génératrices, familles libres, base : définitions, exemples, images par des applications linéaires.
Cours 7 (27/10) : Bases, dimension, théorème du rang. Produit, somme, intersection de sous-espaces vectoriels. Hyperplans. Exercices à préparer pour la semaine du 8 novembre : 1, 2, 3, 6, 7, 11, 12 de la feuille 3.
Cours 8 (10/11) : Hyperplans, intersections d’hyperplans, dimensions. Retour sur le théorème du rang. Début du chapitre sur les déterminants : le cas de la dimension 2.
Cours 9 (17/11) : Déterminants : le cas de la dimension 3, propriétés, règle de Sarrus, exemple. Deuxième heure : DS2.
Cours 10 (25/10) : Déterminants : dimension quelconque, développement suivant une ligne ou une colonne, formule de l'inverse avec la comatrice, déterminant d'un produit de matrices.
Cours 11 (1/12) : Déterminant d’un produit de matrices (démonstration). La multiplication par une matrice multiplie les volumes par la valeur absolue du déterminant. Différentes caractérisations de l’inversibilité d’une matrice. Valeurs propres, vecteurs propres d’une matrice carrée. Polynôme caractéristique d’une matrice carrée. Exemples de recherche de valeurs propres et de vecteurs propres en dimensions 2 et 3. Exemples de diagonalisation.
Cours 12 (8/12) : Exemples de matrices pas diagonalisables. Critères de diagonalisabilité : une matrice de taille nxn avec n valeurs propres différentes est diagonalisable ; une matrice symétrique réelle est diagonalisable. Changement de base : effet sur les coordonnées, matrice d’une application linéaire par rapport à différentes bases. Rotations, homothétie, projections, symétries.