Rappels sur les groupes et les actions de groupes. Résolubilité, simplicité.
Groupes symétriques et alternés, familles de générateurs, résolubilité.
Groupe linéaire, spécial linéaire sur un corps. Familles de générateurs, résolubilité. Drapeaux, décomposition LU, décomposition de Bruhat.
Groupes linéaires sur un corps fini, utilisation des inversibles d'une sous-algèbre de matrices pour trouver des sous-groupes de Sylow.
Géométrie projective : définitions, structure affine du complémentaire d'un hyperplan, homographies, théorèmes de Thalès, Pappus, Desargues. Dualité.
Formes sesquilinéaires et quadratiques : réduction. groupes orthogonaux et symplectiques. Théorème de Witt. Théorème de Cartan-Dieudonné.
Formes quadratiques sur $\mathbb{R}$. Compacité du groupe orthogonal, sous-groupes fermés (théorème de Cartan) et compacts du groupe linéaire, sous-groupes finis de $\mathrm{SO}_3$, polyèdres réguliers. Décompositions de Cartan et d'Iwasawa.
Action de groupes. Théorèmes de Lagrange, Cauchy et Sylow. Résolubilité, Simplicité. Groupe dérivé. Produit semi-direct.
Bases sur les groupes de permutations: $\mathfrak{S}_n$ et $\mathfrak{A}_n$. Centres et groupe dérivés. Simplicité de $\mathfrak{A}_n$. Groupes résolubles.
Chapitre 2:
Géométrie affine.
Définition. Parallélisme. Applications affines. Le groupe affine. Théorème de Thalès.
Chapitre 3:
Géométrie projective.
Définition. Liaison affine / projectif. Envoi à l'infini. Théorème de Pappus, Desargues. Dualité. Homographie. Birapport. Quadruplet harmonique. Droite projective complexe.
Chapitre 4:
Les groupes linéaires.
Transvection et dilatation. Simplicité des groupes $\mathrm{PSL}_{n}(k)$.
Chapitre 5:
Les groupes orthogonaux euclidiens.
Réflexion et retournement. Simplicité des groupes $\mathrm{PSO}_{n}(\mathbb{R})$.
Décomposition polaire, de Cartan et d'Iwasawa dans $G=\mathrm{SL}_{n}(\mathbb{R})$, $\mathrm{GL}_{n}(\mathbb{R})$, $\mathrm{SL}_{n}(\mathbb{C})$ ou $\mathrm{GL}_{n}(\mathbb{C})$.
Géométrie sphérique: théorème de Girard, Euler et Platon.
Biblio
Cours d'Algèbre, Daniel Perrin, Ellipses. Ce livre contient strictement toute la partie "algèbre" du cours.
Géométrie, Michel Audin, EDP Sciences. Ce livre contient strictement toute la partie "géométrie" du cours.
Un livre en construction de géométrie projective écrit par Daniel Perrin. Je n'ai malheureusement pas encore eu le temps de lire ce livre mais je sûr qu'il est formidable.
Théorie des groupes, Jean Delcourt, Dunod. Ce livre contient toute la théorie des groupes du L3 au M1.
Excellent livre pour rattraper son retard ou approfondir ses connaissances. Le format est très particulier: cours et exercices sont mélangés, à la charge du lecteur MAIS les exos sont corrigés ! Ce livre est magnifique !
An introduction to group theory, Joseph Rotman, Springer. Ce livre est une introduction poussée la théorie des groupes. Très bien écrit avec beaucoup d'exos. Très bon livre d'approfondissement.
Organisation
Le cours est le vendredi de 14h à 16h. Responsable Ludovic Marquis. Le TD groupe magistère est le mardi à l'ENS Rennes de 8h à 10h. Responsable: Salim Rostam. Le TD groupe Beaulieu est le mardi sur le Campus de Beaulieu de 8h à 10h. Responsable Ludovic Marquis.
