Environnement aléatoire solidaire du réseau

Dans les deux cas (canonique et grand canonique) précédents, la construction de la mesure de Gibbs se fait trivialement puisqu'elle ne fait pas intervenir ni des interactions entre différents sites ni de structure de voisinages sur . Cet aspect se perd quand on étudie de marches plus compliquées comme des polymères d'Edwards (marches faiblement sans recoupement) [#!KouPasPet!#] ou des marches dans un environnement aléatoire solidaire du réseau [#!BriKup!#]. Dans ce dernier cas en effet, la mesure canonique n'est plus la mesure de comptage sur mais une mesure qui a une densité par rapport à la mesure de comptage. Pour calculer cette densité, il suffit d'exprimer chaque élément de la matrice de transition de la chaîne -- qui est positif et inférieur à 1 -- comme avec une constante positive et une famille de variables aléatoires à valeurs dans , indexée par les liens. On trouve alors pour la densité de ,

où . On voit donc que dans le formalisme gibbsienne pour les marches aléatoires, on parvient à exprimer l'influence de l'environnement sous la forme d'une énergie de la marche qui s'écrit comme la somme sur les énergies élémentaires associées à chaque lien du réseau. La fonction de partition ainsi que la mesure grand canonique s'expriment de la manière traditionnelle à partir de la nouvelle mesure .

En guise de conclusion donc, le formalisme gibbsien permet le double exploit :

• de probabiliser l'espace adéquat (celui qui respecte les contraintes) et
• d'exprimer la probabilité correspondante sous une forme particulièremen bien adaptée à l'échantillonage par simulation.