Licence 3/ Holo / 2018-19

Plan du cours

Premier cours (11 janvier): Chapitre I : Dérivabilité complexe; Définition de la dérivabilité des fonctions d'une variable complexe; Equations de Cauchy-Riemann; Lien avec la différentiabilité
Deuxième cours (18 janvier): Fonctions holomorphes, définition et exemples; Fonctions harmoniques; Conservation des angles; Biholomorphismes, automorphismes
Troisième cours (25 janvier): Chapitre II : Séries entières; Modes de convergence des suites et séries de fonctions, critères, produit des Cauchy; Séries entières, définition, rayon de convergence; Holomorphie des séries entières
Quatrième cours (1 février): Principe des zéros isolés; Chapitre III : Exponentielle et logarithmes; La fonction exponentielle; Les fonctions logarithmes, définition et exemples; La branche principale du logarithme; Les fonctions puissances; La fonction Zeta de Riemann
Cinquième cours (8 février): Chapitre IV : Intégration sur les chemins et formule de Cauchy; Intégration sur les intervalles de ℝ; Intégration sur les chemins de ℂ
Sixième cours (15 février): Indépendance vis-à-vis des chemins et primitives; Théorème de Cauchy pour les disques; Formule du maximum
Septième cours (1ier Mars): Chapitre V : Développement en séries entières et propriétés des applications holomorphes; Critère de développabilité; Développabilité des applications holomorphes; Théorème de prolongement de Riemann; Théorème d'égalité; Sur le concept d'holomorphie; Remarque sur le prolongement analytique
Huitième cours (8 Mars): Holomorphie des intégrales dépendant d'un paramètre; Formule de Gutzmer; Principe du maximum; Théorème de convergence de Weierstrass; Théorème d'existence de zéros; Théorème de l'application ouverte
Neuvième cours (15 mars): Chapitre VI : Théorie des résidus; Singularités isolées; Logarithme d'applications holomorphes; Indice d'un point par rapport à un chemin orienté
Dixième cours (22 mars): Théorème de Cauchy; Théorème des résidus
Onzième cours (29 mars): Comptage des zéros et des pôles; Théorème de Rouché; Comptage et localisation des zéros de polynômes complexes; Chapitre VII : Groupes d'automorphismes; Groupe d'automorphismes du disque unité; Groupe d'automorphismes du demi-plan de Poincaré; Groupe d'automorphismes de ℂ et ℂ*

Feuilles d'exercices	Feuille 1
	Feuille 2
	Feuille 3	Exercices WIMS
	Feuille 4	Base d'exercices en ligne (Braise)
	Feuille 5	Le site des archives de l'UFR
	Feuille 6
	Feuille 7

Christophe Mourougane

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