Deuxième année de licence de
mathématiques.
Analyse 3
Modalité de contrôle des connaissances.
La note finale sera donnée par la formule : max(E,(E+CC)/2), dans laquelle E désigne la note obtenue à l'épreuve d'une durée de deux heures qui se déroulera après la fin des cours et CC la note de contrôle continu. La note CC sera calculée de la façon suivante : deux fois 6 points pour deux interrogations d'une durée de 1 heure, une note d'oral de 4 points, une note sur 2 points pour deux devoirs à la maison et une note sur deux points pour des feuilles d'exercices WIMS.
L'examen aura lieu le 17 décembre 2008 de 14h à 16h. Le sujet portera sur l'ensemble des cours et des TD. Au moins cinq points porteront sur chacun des trois aspects suivants : les définitions (suites, valeurs d'adhérences, densité, bornes supérieures, limites,...), les théorèmes sur les fonctions continues et les fonctions dérivables (TVI, TAF, image d'un intervalle,...), les développements limités et leurs applications.
Une remarque. Lorsque vous vous appuyez sur un théorème pour affirmer quelque chose, il n'est pas nécessaire d'énoncer le théorème (sauf si on vous le demande explicitement) mais il faut que vous donniez les hypothèses du théorème invoqué en quelques mots avant de l' « appliquer ». Exemple : f est continue sur [0,2], f(0)=-1, f(2)=3, donc, d'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe un nombre x dans [0,2] tel que f(x)=1 (même si f est supposée continue depuis le début de l'exercice, répétez-le juste avant d'appliquer le théorème des valeurs intermédiaires pour bien faire comprendre que vous en connaissez les hypothèses (c'est aussi une façon de s'assurer qu'aucune hypothèse ne manque)).
Les sujets posés l'an passé en B01 vous aideront peut-être à vous préparer (mais les cours de B01 et d'analyse 3 sont différents : suites et séries sont plus importantes dans le cours d'analyse 3 par exemple). Première session (trop long). Deuxième session.
Corrigé d'une partie du DS2. (L'exercice 4 est traité un peu trop rapidement).
Les feuilles d'exercices pour les TD et les énoncés de devoirs.
Liste d'exercices pour préparer le DS1
Enoncé et corrigé du devoir du 10 octobre
Enoncé et corrigé du devoir du 17 octobre
Développements limités à savoir
Liste d'exercices pour préparer le DS2
Le déroulement du cours.
Cours 1 (8/9) : Introduction. Exemples de nombres réels non rationnels (racine de 2, e). Définition axiomatique de la droite réelle (parmi les axiomes : toute suite croissante majorée de réels est convergente dans R). Majorants, minorants, borne supérieure, borne inférieure. Une partie non vide majorée de R a une borne supérieure.
Cours 2 (10/9) : Rappels sur la manipulation des inégalités. Démonstration de l'existence d'une borne supérieure d'un ensemble non vide majoré. Plus grand élément d'un ensemble. Définitions et propriétés analogues pour la borne inférieure, le plus petit élément. Borne supérieure d'une réunion d'ensembles, borne supérieure et inclusion, borne supérieure et intersection. Bornes d'une application à valeurs réelles.
Cours 3 (15/9) : Quelques propriétés des bornes de fonctions (sup(f+g),...). Suites extraites, valeurs d'adhérences : définitions, et démonstration de l'énoncé « un nombre a est valeur d'adhérence d'une suite si on peut trouver une suite extraite convergeant vers a ».
Cours 4 (22/9) : Un nombre a est valeur d'adhérence d'une suite s'il existe une suite extraite (de la suite donnée) convergeant vers a. Une suite bornée a au moins une valeur d'adhérence. Définition des liminf et limsup d'une suite. La limite inférieure d'une suite bornée est sa plus petite valeur d'adhérence. Définition d'un sous-ensemble dense de R. Exemples : l'ensemble des nombres rationnels et l'ensemble des nombres irrationnels sont denses dans R. Cardinalité : N et Z ont même cardinal.
Cours 5 (24/9) : Définition d'un ensemble dénombrable. Q est dénombrable. L'ensemble des parties de N n'est pas dénombrable, R n'est pas dénombrable. Début du chapitre 2 : Limites et continuité des fonctions réelles de la variable réelle. Limite finie ou infinie d'une fonction en plus l'infini.
Cours 6 (29/9) : Limite d'une fonction en moins l'infini. Exemple. Points adhérents à une partie de R. Caractérisation comme limite d'une suite de points de la partie considérée. Limite d'une fonction en un point adhérent à une partie de R. Exemples.
Cours 7 (6/10) : Limite d'une fonction en un point (suite). Exemples. Caractérisation d'une limite par les suites numériques. Limites et majorations. Limites et opérations arithmétiques.
Cours 8 (8/10) : Correction du devoir à la maison. Limites et opérations arithmétiques (suite). Limites et composition de fonctions. Existence des limites à droite et à gauche en un point pour une fonction monotone.
Cours 9 (13/10) : Limites à droite ou à gauche en un point ou en l'infini des fonctions monotones. Fonctions continues en un point, sur un intervalle. Exemples. Théorème des valeurs intermédiaires.
Cours 10 (20/10) : Théorèmes des valeurs intermédiaires. Une fonction continue sur un intervalle fermé borné est bornée et atteint ses bornes. L'image d'un segment par une fonction continue est un segment. Exemples. Continuité uniforme : définition, exemples.
Cours 11 (24/10) : Une fonction continue sur un intervalle fermé borné est uniformément continue. Dérivée. Définition. Exemples. Dérivées d'une somme, d'un produit, d'un quotient de fonction.
Cours 12 (3/11) : Dérivée de la fonction réciproque d'une fonction monotone dérivable dont la dérivée ne s'annule pas. Exemples : polynômes, fractions rationnelles, exponentielle, logarithme, fonctions puissances, arccos,... La fonction exponentielle comme somme de série : définition, dérivabilité, elle est solution de l'équation f'=f. Produit de deux séries convergentes à termes positifs.
Cours 13 (10/11) : Produit de deux séries absolument convergentes. Application : exponentielle complexe, le produit de deux exponentielles est l'exponentielle de la somme, module d'une exponentielle, définition du cosinus et du sinus, le cosinus et le sinus comme sommes de séries. Extremums locaux. La dérivée s'annule en un extremum local. Théorème de Rolle.
Cours 14 (12/11) : Théorème des accroissements finis. Application : monotonie et signe de la dérivée. Inégalité des accroissements finis. Exemples. Règle de L'Hospital. Dérivées successives. Fonctions Ck. Développement de Taylor avec reste intégral. Développement de Taylor-Lagrange.
Cours 15 (17/11) : Développements limités. Définition. Unicité. Développement limité et parité. Développement limité d'une fonction Cn. Développements limités des fonctions exp, sh, ch, sin, cos, (1-x)^(-1), (1+x)^(-1), ln(1+x), ln(1-x), (1+x)^a. Développement limité d'une somme de fonctions.
Cours 16 (24/11) : Développement limité d'un produit, d'une composée, d'un quotient (substitution, division suivant les puissances croissantes).
Cours 17 (26/11) : Applications : calculs de limites (suites, fonctions), étude de convergence de séries, critère de Raabe-Duhamel, formule de Stirling.
Cours 18 (1/12) : Applications : étude de fonctions (branches infinies, asymptotes, position d'une courbe par rapport à une tangente, une asymptote). Etude locale d'une courbe paramétrée (dans le plan). Une fonction peut avoir un développement limité à l'ordre 2 sans être deux fois dérivable.