Université Rennes 1, Année L1, 2017-2018

Mathématiques 1

page mise à jour le 13/12/2017 à 10:30

Infos générales
Module MAT1, Mathématiques 1 à l'ISTIC, Enseignant : Matthieu Romagny
Page web du cours MAT1 : ici.
Pour connaître les horaires exacts des créneaux de cours semaine par semaine, ainsi que les salles, regardez l'emploi du temps en ligne.

Documents
  • Exemple d'une fonction qui admet un minimum local en 0, mais qui même quand on se place sur un tout petit intervalle I autour de 0 n'est ni croissante ni décroissante sur I. Prenons la fonction définie par f(x)=x²(sin(1/x)+2). Comme -1≤sin(1/x)≤1, on a 1≤sin(1/x)≤3 donc en multipliant par x² on obtient x²≤f(x)≤3x². D'après le théorème des gendarmes, la fonction f tend vers 0 lorsque x tend vers 0, et de plus le graphe de f est tout entier situé entre les deux paraboles d'équations y=x² et y=3x². Voici le graphe de cette fonction:



  • Les examens terminaux du module ANA : 2016-2017, 2015-2016, 2014-2015.
    Attention : le module ANA était semblable au module MAT1, sauf que le programme contenait des équations différentielles, et ne contenait pas de probabilités.
  • Feuille 6 et solutions.
  • Feuille 5 et solutions.
  • Feuille 3 et solutions.
  • Feuille 2 et solutions.
  • Feuille 1 et solutions. Correction plus détaillée de l'exercice 1.15.
  • Contrôle no 2 et corrigé.
  • Contrôle no 1 et corrigé.

    Résumé séance par séance

  • Mardi 12 décembre
    Exercices : Examen terminal 2016-2017. Enoncé : voir ci-dessus. Réponses : ici.

  • Lundi 11 décembre
    Cours : probabilités : notions d'univers, d'événement, de variable aléatoire. Loi d'une variable aléatoire. Exemples de la loi de Bernoulli de paramètre p (0<p<1) et de la loi de Bernoulli de paramètres n et p (n∈ℕ et 0<p<1).
    Exercices faits : 6.9, 6.12, 6.13.

  • Jeudi 7 décembre
    Cours : aucun.
    Exercices faits : 6.3.
    Pour lundi 11 décembre :
      - relire le cours.

  • Mercredi 6 décembre
    Cours : aucun (retour sur ex 6.1 et les interprétations combinatoires).
    Exercices faits : 6.3.
    Pour jeudi 7 décembre :
      - relire le cours.

  • Mardi 5 décembre
    Cours : dénombrements: cardinal et bijections, retour sur les parties de cardinal k fixé d'un ensemble fini à n éléments, notion de "interprétation combinatoire", dénombrement des tirates (avec ou sans ordre; avec ou sans répétition).
    Exercices faits : 6.1 et 6.2.
    Pour mercredi 6 décembre :
      - relire le cours.

  • Lundi 4 décembre
    Cours : début du chapitre probabilités: combinatoire, dénombrement des permutations d'un ensemble fini, parties d'un ensemble fini, coefficients binomiaux, formule du triangle de Pascal.
    Exercices faits : début du 6.1.
    Pour mardi 5 décembre :
      - relire le cours.
      - faire l'exercice 6.2.

  • Jeudi 30 novembre
    Cours : intégration des fractions rationnelles.
    Exercices faits : 5.10, 5.11.
    Pour lundi 4 décembre :
      - relire le cours.
      - terminer les exercices 5.9 et 5.11.

  • Mercredi 29 novembre
    Cours : aucun.
    Exercices faits : 5.7, 5.8.
    Pour jeudi 30 novembre :
      - relire le cours.
      - regarder l'exercice 5.9.

  • Mardi 28 novembre
    Cours : théorème de changement de variables pour les intégrales.
    Exercices faits : 5.5, 5.6.
    Pour mercredi 29 novembre :
      - relire le cours.

  • Lundi 27 novembre
    Cours : intégrales impropres ou généralisées, intégration par parties, exemples.
    Exercices faits : début exercice 5.5.
    Pour mardi 28 novembre :
      - relire le cours.
      - terminer exercice 5.5.

  • Jeudi 23 novembre
    Cours : retour sur la question de la dérivabilité d'une fonction en un point ; exemple de la fonction f(x)=exp(1/x²) en x=0. Intégrales : définition en termes d'aire, exemples, linéarité (intégrale d'une somme de deux fonctions ou du multiple d'une fonction par une constante), positivité, relation de Chasles.
    Exercices faits : 5.1, 5.2-a-b-c-d.
    Pour lundi 27 novembre :
      - relire le cours.
      - terminer exercice 5.2. Terminer l'exercice 3.18 (c) avec une attention particulière pour les propriétés de la fonction au voisinage des points d'abscisse -1 et 1 (continuité, dérivabilité).

  • Mercredi 22 novembre
    Cours : début du cours sur l'intégration : primitives, exemples.
    Exercices faits : 3.18 (c) commencé.
    Pour jeudi 23 novembre :
      - relire le cours.

  • Mardi 21 novembre
    Cours : aucun.
    Exercices faits : 3.15, 3.19.
    Pour mercredi 22 novembre :
      - relire le cours ! même si nous n'avons pas fait de nouveau cours aujourd'hui.
      - travailler l'exercice 3.18 pour vous entraîner aux études de fonctions complètes.

  • Lundi 20 novembre
    Cours : utilisation de la dérivée seconde pour déterminer si un point critique est extremum local, asymptotes. Plan d'étude d'une fonction.
    Exercices faits : 3.10.
    Pour mardi 21 novembre :
      - relire le cours.
      - préparer exercice 3.15.

  • Jeudi 16 novembre
    Cours : dérivées d'ordre supérieur, fonctions convexes et concaves, points d'inflexion.
    Exercices faits : 3.9.
    Pour lundi 20 novembre :
      - relire le cours.

  • Mardi 14 novembre
    Cours : théorème des valeurs intermédiaires (TVI), fonctions croissantes et décroissantes, théorème des accroissements finis (AF), l'image d'un segment par une application continue est un segment.
    Exercices faits : 3.7 (a) et (e), début du 3.9.
    Pour jeudi 16 novembre :
      - relire le cours.
      - terminer exercice 3.9 et faire le 3.10.

  • Lundi 13 novembre
    Cours : théorème "règle de l'Hôpital" (sa connaissance n'est pas obligatoire), étude globale des fonctions : définition des minima, maxima et points critiques.
    Exercices faits : 3.4 et 3.6.
    Pour mardi 14 novembre :
      - relire le cours.

  • Jeudi 9 novembre
    Cours : dérivées, suite et fin : dérivées de sommes, produits, quotients, composées. Tous les exemples de fonctions classiques (puissances, fonctions trigonométriques, fonctions trigonométriques réciproques, exponentielle et logarithme).
    Exercices faits : 3.5.
    Pour lundi 13 novembre :
      - relire le cours.
      - faire les exercices 3.4 et 3.6 (des étudiant-e-s passeront au tableau).

  • Mardi 7 novembre
    Cours : dérivée d'une fonction.
    Exercices faits : 3.2, et 3.3 a-b-c-d-e.
    Pour jeudi 9 novembre :
      - relire le cours.
      - terminer l'exercice 3.3. Celle ou celui qui sait donner une réponse justifiée pour (i) gagne un carambar.

  • Lundi 6 novembre
    Cours : continuité ; calculs de limites : théorème des gendarmes ; théorèmes de comparaison entre exponentielles, polynômes et logarithmes ; fractions rationnelles ; limite de sin(x)/x lorsque x→1.
    Exercices faits : 3.1.
    Pour mardi 7 novembre :
      - relire le cours.
      - travailler les exercices 3.2 et 3.3.

  • Jeudi 26 octobre
    Cours : Limites de fonctions de variable réelle : limites en x0, en x0+, en x0-, en +∞, en -∞.
    Exercices faits : 2.13, 2.14.
    Pour lundi 6 novembre :
      - relire le cours.
      - réviser la fonction arctan !
      - faire l'exercice 3.1.

  • Mardi 24 octobre
    Cours : Fractions rationnelles ; décomposition en éléments simples.
    Exercices faits : 2.18, 2.8, 2.15.
    Pour jeudi 26 octobre :
      - relire le cours.
      - faire l'exercice 2.14.

  • Lundi 23 octobre
    Cours : Fonctions réciproques classiques : arccos, arcsin, arctan, logarithme. Exponentielles et logarithmes en base a.
    Exercices faits : 2.7, 2.11.
    Pour mardi 24 octobre :
      - relire le cours.
      - tracer le graphe de la fonction f:ℝ ⟶ ℝ, f(x)=arccos(cos x). En déduire la réponse aux questions a-b-c de l'exercice 2.18.

  • Vendredi 20 octobre
    Cours : Fonctions polynômes : définition, degré, division euclidienne.
    Exercices faits : 2.9.
    Pour lundi 23 octobre :
      - relire le cours.
      - préparer les exercices 2.7 et 2.11.

  • Jeudi 19 octobre
    Cours : Fonctions périodiques, fonctions bijectives, bijections réciproques.
    Exercices faits : 2.2, 2.3 (questions a-b-c-d), 2.6.
    Pour vendredi 20 octobre :
      - relire le cours. Faire l'exercice 2.5.

  • Lundi 16 octobre
    Cours : Fonctions numériques d'une variable réelle f:A⟶ℝ, image d'un point de la source (ou ensemble de départ), antécédents d'un point du but (ou ensemble d'arrivée). Image d'une fonction, restriction, prolongement.
    Opérations sur les fonctions : composition, addition, multiplication.
    Graphe, fonctions paires et impaires.
    Exercices faits : 2.1.
    Pour jeudi 19 octobre :
      - relire le cours en vérifiant votre compréhension sur les exercices 2.2 et 2.3.

  • Jeudi 12 octobre
    Cours : Racines carrées d'un nombre complexe, équation du second degré à coefficients complexes.
    Exercices faits : 1.5, 1.8, 1.10, 1.11.
    Pour lundi 16 octobre :
      - relire le cours.
      - Exercices à rédiger sur feuille (que je ramasserai) : 1.14(d) et 1.15(a). Note importante : dans 1.14(d) l'équation à résoudre est bien z²+(2+i)z−1+7i=0 (dans la feuille de TD le =0 est oublié !).
      - Exercices à rédiger pour vous : 1.14(b), fin de l'exercice 1.15.
      - Vous pouvez regarder également les exercices 1.16 et 1.17.

  • Mercredi 11 octobre
    Cours : Racines carrées d'un nombre complexe, équation du second degré à coefficients complexes.
    Exercices faits : 1.5, 1.8, 1.10, 1.11.
    Solutions de 1.11 : sin³x= (−¼)·(sin(3x)−3 sin(x)) et cos²(3x)sin(5x)=¼·(sin(11x) + 2 sin(5x) − sin(x)).
    Pour la prochaine fois :
      - relire le cours.
      - Regarder les exercices 1.12, 1.13, 1.14.

  • Mardi 10 octobre
    Cours : Propriétés de la conjugaison. Fonction exponentielle complexe. Passage de la forme algébrique à la forme trigonométrique (ou à la forme exponentielle) et réciproquement. Linéarisation.
    Exercices faits : 1.2.
    Pour la prochaine fois :
      - relire le cours.
      - Faire l'exercice 1.5.

  • Lundi 9 octobre
    Cours : nombres complexes, addition, multiplication. Conjugué, division. Interprétation géométrique dans le plan. Module et argument. Ecritures algébrique, trigonométrique et exponentielle.
    Exercices faits : 1.1.
    Pour la prochaine fois :
      - relire le cours.
      - Lire et comprendre la feuille accessible ici.

    • Déroulement prévu pour le cours (octobre à décembre 2017)

    Voici un tableau prévisionnel du déroulement du cours. Ce tableau est donné à titre purement indicatif : il pourra y avoir de petites modifications.


    Semaine
    		 Dates
    		 nombre d'heures de cours
    		 contrôles
    		 Contenu
    Semaine 1
    		 9 au 13 oct
    		 8h
    		nombres complexes
    Semaine 2
    		 16 au 20 oct
    		 6h
    		fonctions classiques réelles
    Semaine 3
    		 23 au 27 oct
    		 6h contrôle 1
    		 fonctions classiques réelles ; étude locale d'une fonction réelle
    Vacances
    		 30 oct au 3 nov
    		 X

    Semaine 4 6 au 10 nov
    		 6h
    		étude locale d'une fonction réelle
    Semaine 5 13 au 17 nov
    		 6h
    		étude globale d'une fonction réelle
    Semaine 6 20 au 24 nov
    		 8h contrôle 2
    		 étude globale d'une fonction réelle ; intégration
    Semaine 7 27 nov au 1er déc
    		 8h
    		intégration
    Semaine 8 4 au 8 déc
    		 8h
    		probas
    Semaine 9 11 et 12 déc
    		 4h
    		probas