Stochasticité

Les premiers débats et travaux mathématiques sur la nature de l'aléa sont dus à von Mises qui propose la notion de stabilité fréquentielle [#!Mis!#] comme caractérisation de l'aléa. On entend par là que si, par exemple, on considère une suite distribuée selon la loi de Bernoulli, la fréquence d'apparition de zéros tend vers . A cette « définition » on peut objecter que la suite

vérifie cette propriété mais n'a rien d'aléatoire. On pallie cet inconvénient en exigeant que non seulement la suite mais aussi des sous-suites vérifient la propriété de stabilité fréquentielle. Cependant, cela ne peut pas être vrai pour toutes les sous-suites. Pour s'en convaincre, supposons qu'une suite infinie soit donnée et construisons la suite d'entiers définie par

et récursivement, tant que soit fini,

Alors, dans le cas où , la sous-suite ne vérifie pas -- par construction -- la propriété de stabilité fréquentielle. Il est donc évident que cette propriété doit être vraie uniquement pour certaines sous-suites qui remplissent des conditions particulières.

La bonne notion de stochasticité est la suivante: Soit un mot binaire arbitraire fini. On considère une suite . Si est de longueur infinie et aléatoire, le mot apparaît une infinité de fois (cf. exemple du « singe dactylographe ») dans . On isole la sous-suite de lettres qui suivent les apparitions de . Cette sous-suite doit vérifier la propriété de stabilité fréquentielle pour que la suite soit stochastique.

En d'autres termes, toutes le suites stochastique sont de suites normales (au sens de Borel).