L2 MIEE // Module VARE
Fonctions de plusieurs variables
Modalités de contrôle des connaissances.
La note finale sera donnée par la formule : max(E,(E+CC)/2), dans laquelle E désigne la note obtenue à l'épreuve d'une durée de deux heures qui se déroulera après la fin des cours et CC la note de contrôle continu. La note CC sera calculée de la façon suivante. Vous aurez deux notes sur 10 pour deux interrogations d'une durée de 1 heure et éventuellement d'autres notes (devoir à la maison, oral). La somme de ces notes ramenée à une note sur 20 sera CC.
Les deux contrôles d'une heure se dérouleront en cours le vendredi 7 octobre et le mardi 22 novembre.
En cas d'absence injustifiée à un contrôle la note attribuée est 0. Un créneau d'une heure sera fixé ultérieurement pour une épreuve destinée aux étudiants qui auraient été absents et auraient justifié leur absence à l'un des deux contrôles (les justificatifs d'absence sont à déposer auprès de Véronique Le Goff). Les personnes ne pouvant être présents à aucun des deux contrôles ne se verront pas attribuer de note CC (leur note en VARE sera la note E).
Notes de cours (version avril 2017 ; merci à Scott Piriou pour ses remarques)
Préparation du devoir du 7 octobre
Une correction du devoir du 7 octobre
Sujet de l'examen de l'an passé
Préparation du devoir du 22 novembre
Préparation de l'examen du 4 janvier
Références bibliographiques
Une bonne partie du contenu est couvert par : Liret et Martinais, Analyse, première année chapitre 15 (qui ne sera pas traité entièrement dans le module), deuxième année chapitres 5, 7, 8, 10.
Feuilles d'exercices
Déroulement du cours
Cours 1 (6/9) : Introduction. L'espace R^d. Définition. Produit scalaire. Norme, distance euclidiennes. Exercice 1.
Cours 2 (9/9) : Inégalité de Cauchy-Schwarz. Angle de deux vecteurs dans R^d. Le coefficient de corrélation de deux séries statistiques de taille n est le cosinus d'un angle de vecteur dans R^n. Coordonnées polaires, sphériques. Début de l'exercice 5. À faire pour mardi prochain : exercices 1, 2, 3, 4 de la feuille 1.
Cours 3 (13/9) : Séance d'exercices : 5, 1, 2, 3, 4, 6.
Cours 4 (16/9) : Topologie de R^d. Points intérieurs, extérieurs, frontière. Définition d'un ouvert. Début de l'exercice 9. À faire pour mardi : exercices 7, 8, 9, 10.
Cours 5 (20/9) : Séance d'exercices : 9, 7, 10.
Cours 6 (23/9) : Une réunion d'ouverts est un ouvert. Une intersection finie d'ouverts est un ouvert. Suites dans R^n, convergence. Caractérisation séquentielle d'un ensemble fermé. Ensembles bornés, compacts. Théorème de Bolzano-Weierstrass. Début de l'exercice 13. À faire pour mardi : finir l'exercice 13, exercices 11 et 12.
Cours 7 (27/9) : Exercice 13 (fin), 11, 12. Début du chapitre sur les fonctions de plusieurs variables : domaine de définition.
Cours 8 (30/9) : Fonctions à valeurs réelles majorées, minorées, bornées ; maximum, minimum (local, global, strict ou sens large), bornes supérieure et inférieure. Graphe. Courbe de niveau, graphe d'une fonction de deux variables. Exercice 1 de la feuille 2. À faire pour mardi prochain : exercices 2, 3, 4 de la feuille 2.
Cours 9 (4/10) : Exercices 2, 3, 4, 5 de la feuille 2.
Cours 10 (7/10) : Fonctions continues : définitions, image réciproque d'un ouvert, d'un fermé par une fonction continue. Devoir 1 comptant pour le contrôle continu.
Cours 11 (11/10) : Exercices 9 et 16 de la feuille 2. La somme, le produit, le quotient, la composée de deux fonctions continues sont continus (sur les ensembles sur lesquels ils sont définis). Une fonction continues définie sur une partie compacte K de R^d à valeurs réelles est bornée et atteint ses bornes.
Cours 12 (14/10) : Exercices 6, 7, 11, 13 de la feuille 2.
Cours 13 (18/10) : Exercices 17, 18. Parties convexes de R^d. Fonctions convexes, fonctions concaves. Exemple de résultat faisant appel aux notions vues en cours jusqu'à aujourd'hui : un théorème de Nash sur les jeux concaves.
Cours 14 (21/10) : Début du chapitre sur les dérivées. Rappels en dimension 1. Développements limités. Exercice 1 de la feuille 3.
Cours 15 (25/10) : Exercice 1 (suite). Dérivées partielles d'une fonction de plusieurs variables à valeurs réelles. Dérivées partielles successives. Lemme de Schwarz. À faire pour le 4 novembre : exercices 2, 3, 5, 6.
Cours 16 (4/11) : Séance d'exercices : 2, 3, 5, 6.
Cours 17 (8/11) : Différentielle d'une fonction de plusieurs variables. Cas des fonctions à valeurs vectorielles. Matrice jacobienne. Différentielle d'une fonction composée. Règle de la dérivation en chaîne. Exercices : 9, 11, 19. À faire pour le 15 novembre : exercices 10, 12, 16, 18, 20.
Cours 18 (15/11) : Exercices 10, 12, 16, 18, 20. Début du chapitre sur l'optimisation. Optimisation libre : cas des fonctions de deux variables, points critiques, nature d'un point critique (début).