Groupe 4. Deuxième année de licence en économie et gestion.
Mathématiques
appliquées
Septembre-Décembre 2009
Horaires
: Les cours sont
donnés sous la forme de cours/TD : deux fois 1h30 par semaine
pour six groupes. Groupe
4 : mardi 14h, jeudi 15h45.
Modalités de contrôle des connaissances : Une note E sur 20 sera attribuée à l'issue d'un examen d'une durée de deux heures se déroulant après la tenue des cours. Trois interrogations de préparation (courtes) seront posées au cours du semestre. Leur moyenne fournira une note de contrôle continu CC. La note finale sera (5E+CC)/6.
(Pour les étudiants dispensés d'assiduité la note finale est E. Trois absences injustifiées en cours/TD entraînent CC=0. Une absence injustifiée à un contrôle continu entraîne une note de 0 à ce contrôle. Si un étudiant est absent à l'un des contrôles seulement et qu'il justifie son absence, la note CC est calculée en ne tenant compte que des deux contrôles qu'il a rendus. Si un étudiant est absent à deux ou trois contrôles (et que ses absences sont justifiées) la règle des dispensés d'assiduité est appliquée : la note finale est E.)
Références bibliographiques :
Mathématiques pour économistes, Carl P. Simon, Lawrence Blume.
http://www.zib.de/groetschel/teaching/MainFile1-8.ps
Analyse microéconomique, Hal R. Varian : les deux derniers chapitres présentent les notions de calcul différentiel nécessaires à la compréhension du livre ; ce sont ces notions que le cours étudiera dans les chapitres portant sur les fonctions de plusieurs variables.
Déroulement du cours
Cours 1 (8/9) : Introduction. Exemples de problèmes de recherche de maximum. Utilisation de la dérivée. Définition des matrices. Multiplication d'une matrice par un nombre, addition de deux matrices de même taille. Exercice 1 de la feuille 1 (début). Réf. : B.&S. p. 53-60, 246-247, 271-273.
Cours 2 (10/9) : Fin de l'exercice 1. Multiplication des matrices. Exercice 2. Propriétés de l'addition et de la multiplication. Matrices nulles et identité(s). Réf. : B.&S. p. 273-275. Pour le prochain cours faire les exercices 3, 4, 5.
Cours 3 (15/9) : Exercices 3, 4, 5. Transposition. Matrices particulières. Puissances d'une matrice carrée. Inverse d'une matrice carrée. Réf. : B.&S. p. 275-276 (transposition), 280-282 (matrices particulières) 283-290 (inverses). Pour le prochain cours faire les exercices 6, 7, 12.
Cours 4 (17/9) : Inverse d'une matrice (suite). Exercices 7, 12, 6, 13. Systèmes d'équations linéaires (exemple, écriture matricielle, cas d'un système donné par une matrice inversible). Réf. : B.&S. p. 283-290 (inverses), 239-257 (systèmes linéaires). Pour le prochain cours faire les exercices 8, 9 et étudier l'exercice 15.
Cours 5 (22/9) : Systèmes d'équations linéaires (suite). Exercices 8, 9. Matrices d'entrée-sortie. Réf. : B.&S. p. 226-228, 292-297. Référence sur internet : http://wims.unice.fr/wims/fr_U1~algebra~docsyslin.fr.html (en particulier, vous pouvez faire les exercices « Mise en oeuvre de la méthode de Gauss » (lien en bas de la page sur la méthode de Gauss)). Pour le prochain cours finir l'exercice 15 et faire l'exercice 16.
Cours 6 (24/9) : Exercices 15 et 16. R^n est un espace vectoriel (définition). Base canonique de R^n. Réf. : B.&S. p. 335-347.
Cours 7 (29/9) : Familles libres, génératrices. Bases. Définitions, exemples. Liens avec les systèmes linéaires. Applications linéaires (début). Pour le prochain cours faire les exercices 14 (première et deuxième questions) et 18. Réf. : B.&S. p. 335-347.
Cours 8 (6/10) : Les applications linéaires coïncident avec les multiplications par les matrices. Formes quadratiques et matrices symétriques associées. Exercices 14, 17 et 18. Réf. : B.&S. p. 335-347 et 301-303 (pour les formes quadratiques). Rappels sur les fonctions d'une variable : élasticité, taux de croissance instantané. Premier DS (30 minutes).
Cours 9 (8/10) : Fonctions de plusieurs variables : exemples. Dérivées partielles. Gradient. Dérivée totale. Formule de Taylor à l'ordre 1. Réf. : B.&S. p. 202-207. Pour la prochaine fois faire les exercices 1, 2, 3, 4 de la feuille 2.
Cours 10 (13/10) : Règle de dérivation en chaîne. Réf. : B.&S. p. 208-211. Exercices 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Cours 11 (15/10) : Règle de dérivation en chaîne. Récapitulation. Productivités marginales, élasticités partielles, taux de croissance instantané.
Cours 12 (20/10) : Fonctions homogènes (définition, identité d’Euler). Fonctions homogènes et taux de croissance instantané. Exercices 8, 10. Réf. : B.&S. p. 731-735 et 740. Les définitions sur les fonctions concaves et convexes ne sont pas revues en cours ; je renvoie au livre B.&S. p. 753-760.
Cours 13 (22/10) : Théorème des fonctions implicites. Réf. : B.&S. p. 597-612. Taux marginal de substitution. Exercices 12, 13.
Cours 14 (3/11) : Dérivées partielles d'ordres supérieurs à 1. Matrice hessienne. Développement de Taylor à l'ordre 2. Réf. : B.&S. p. 861-864. Exercice 18.
Cours 15 (5/11) : Exercice 18 (fin). Déterminant. Définition en dimension 2 (aire de parallélogrammes, propriétés, produit en croix), en dimension 3 (propriétés, règle de Sarrus), en dimension quelconque. Réf. : B.&S. p. 351-371.
Cours 16 (10/11) : Développement d'un déterminant suivant une colonne ou une ligne. Exemple. Exercice 1. Contrôle numéro 2. Corrigé de l'une des versions du contrôle. Réf. : B.&S. p. 351-371.
Cours 17 (12/11) : Inversion d'une matrice d'une matrice de déterminant non nul (transposée de la comatrice divisée par le déterminant). Exercice 2. Application aux systèmes linéaires dont la matrice associée est inversible (formules de Cramer). Exercice 4. Réf. : B.&S. p. 351-371.
Cours 18 (17/11) : Une caractérisation des matrices inversibles. Valeurs propres, vecteurs propres. Diagonalisation d'un matrice. Si une matrice nxn a n valeurs propres distinctes, elle est diagonalisable. Une matrice symétrique (réelle) est diagonalisable dans une base orthonormée. Exercice 3.
Cours 19 (19/11) : Exercices 3, 5. Début du chapitre sur l'optimisation. Extrema libres. Rappel sur la dimension 1. Définition d'un extremum libre d'une fonction définie sur un domaine de R^2. Réf. : B.&S. p. 639-647.
Cours 20 (26/11) : Développement de Taylor à l'ordre 2. Nature d'un point stationnaire en fonction du signe des valeurs propres de la matrice hessienne. Même chose en dimension quelconque. Caractérisation des signes des valeurs propres en utilisant les mineurs principaux. Troisième DS. Réf. : B.&S. p. 639-647, 571-579.
Cours 21 (1/12) : Exercice 6. Extremum et convexité. Exemple : maximum d'une fonction affine sur un cercle. Extrema liés avec une contrainte. Cas d'un contrainte donnée par une inégalité. Réf. : B.&S. p. 657-677.
Cours 22 (3/12) : Exercice 8. Théorème des extrema liés avec plusieurs contraintes. Exemple. Exercices 11 et 12. Réf. : B.&S. p. 657-677, p. 781-782.
Feuilles de travaux dirigés
Feuilles de travaux
dirigés 2008/2009
Enoncé de l'examen de l'année 2007/2008.
Enoncé de l'examen de l'année 2006/2007.
Corrigé de l'examen de l'année 2006/2007.