Martingale à la roulette

P53 le paragraphe concernant la martingale pour gagner à la roulette est repris dans l'exposé de vulgarisation que j'ai donné dans le cadre des 5 minutes Lebesgue.

J'y détaille la martingale dont le principe  général consiste à doubler sa mise à chaque échec.

La roulette considérée ici (américaine) comporte 18 cases Noires, 18 cases Rouges et 2 cases vertes (zéro et double zéro) les cases de la banque qui s'accapare des mises lorsque la bille s'y arrête (ce qui n'est d'ailleurs pas exactement le cas pour les roulettes anglaises ou françaises). Dans tous les cas, lorsqu'on mise sur le noir et qu'une case noire sort, alors on gagne deux fois sa mise.

Grosso modo la martingale est la suivante. On mise N euros sur le noir avec comme objectif de gagner N euros. Si le noir sort, on gagne déjà les N euros souhaités : c'est fini. Sinon, on mise cette fois 2N euros ; si le noir sort on gagne 2N euros desquels on doit déduire la perte de N euros précédentes, ce qui donne le gain souhaité de N euros ; on s'arrête. Sinon, on mise 4N euros et ainsi de suite en doublant sa mise à chaque fois jusqu'à ce que le noir sorte.

Cette martingale marche à coup sûr... d'un point de vue théorique ! En effet, sa mise en oeuvre nécessiterait de disposer de fonds illimités et aussi que les casinos ne plafonnent pas les mises, deux hypothèses qui ne sont pas vérifiés en pratique. C'est pourquoi, on peut voir cette martingale comme une expérience de pensée qu'il est possible de discuter comme telle.

J'ai noté plusieurs avis émanant de collègues, comme quoi le formalisme mathématique ne résoud pas tout. Certains affirment que l'échec pratique de la martingale réside en la limitation des fonds, d'autres estiment que c'est parce que le gain obtenu est dérisoire en rapport à la mise à investir. Je pense qu'ils ont tous les deux raisons, et c'est bien pour cela que je me permets d'émettre un troisième avis !

Il est à noter qu'en restant dans le cadre d'une expérience de pensée, c'est-à-dire en diposant de fonds illimités, on peut très bien mettre en oeuvre la martingale indépendamment de la probabilité (non nulle quand même !) de succès à chaque issue. En effet, on peut très bien décider de miser sur une seule case (avec 1 chance sur 38 seulement de gagner) et doubler la mise à chaque échec.

Bien évidemment, la limitation des fonds est l'obstacle principal. Néanmoins, je pense que la limitation des plafonds par les casinos n'est pas anodine.

Pour fixer les idées, imaginons, en l'absence de plafond, qu'un joueur dispose d'un capital de l'ordre de 1 million d'euros et décide de miser initialement 1000€ qui correspond aussi à son objectif de gain. Il peut alors assumer une suite de 9 sorties consécutives défavorables. Ce qui donne un pourcentage de risque de perdre son capital d'environ 0,1631% (à savoir (20/38)^10) et, à l'inverse, de 99,84% de chances de gagner 1000€.

On peut en effet considérer que le gain est faible en rapport au capital de départ. On peut aussi penser que, même si les chances de perdre sont très faibles, tant qu'un très grand nombre de joueurs (de l'ordre de 1000) reproduira cette martingale, il deviendra vraisemblable que l'un d'entre eux perde.

La probabilité de perdre multipliée par le capital est de l'ordre du montant du gain.

Adoptons maintenant le point de vue du casino. Dès lors qu'un grand nombre de parties seront joués, il devrait se trouver gagnant en raison de la case verte (qui lui donne un infime avantage, mais répété un grand nombre de fois). Le fait qu'un nombre important de parties soit jouées est essentiel.

Car si l'on considère - encore une demi expérience de pensée - que le casino n'a qu'un seul client dans le mois dont le capital est de 1 milliard et le gain visé de 1 million - un émir saoudien lassé de collectionner les chaînes d'hôtels et dont le passe-temps serait de calculer des probabilités. Alors, il serait fortement probable que le casino perdre 1 million de dollars chaque mois, pendant un certain temps. Sans doute qu'il n'aurait pas les reins assez solide pour assumer ses frais de fonctionnement pendant toutes les années où l'émir viendrait jouer, en attendant qu'enfin la chance tourne.

Pour ceux qui ne se projette pas dans la peau d'un émir désoeuvré, il est possible de considérer à la place un millier de golden boys qui se regrouperaient en un unique joueur en mettant chacun au pot commun 1 million de dollars. On peut, bien sûr, décliner encore la situation avec 1 million de petits joueurs misant chacun 1 euro et apportant un capital de 1000 euros et qui se comporteraient, au final, comme un seul émir.