AR2: Arithmétique 2

I) Polynômes a coefficients dans un corps :

a) Généralité, somme, produit, composition.

b) Division euclidienne exemple : cas de la division par X-a.

PGCD, PPCM, identité de Bézout, algorithme d'Euclide, lemme de Gauss.

c) Polynômes irréductibles, existence et unicité de la décomposition.

Polynômes réels et complexes. Théorème de d'Alembert. Polynômes irréductibles sur R .

d) Formule de Taylor. Racine, nombre de racines d'un polynôme, relation coefficients racines.

e) Comptage des racines réelles, localisation des racines.

Interpolation de Lagrange. Polynômes de Bernstein.

II) Fractions rationnelles :

définition abstraite de K (X), fonction associée à une fraction rationnelle, pôles,

décomposition en éléments simples, division suivant les puissances croissantes.