Licence MiaSHS Deuxième année
Module Algèbre III
Algèbre linéaire
Feuilles d'exercices
Feuille 1, Feuille 2, Feuille 3
Des cours en vidéo sur les thèmes du cours
Devoirs posés en 2020 : DS1, DS2, DS3.
Devoirs posés en 2021 : DS1, DS2 (corrigé), DS3 (corrigé).
Devoirs posés en 2022 : DS3 (partiellement corrigé)
En première session l'évaluation est un contrôle continu décrit ci-dessous. En deuxième session ce sera un examen.
Vous aurez trois notes pour deux interrogations d'une durée de quarante-cinq minutes et une interrogation d'une heure trente. La note finale sera la moyenne de ces notes (avec les coefficients 1, 1, 2).
Les deux contrôles de quarante-cinq minutes se dérouleront les 12 octobre, 16 novembre et le contrôle d’une heure trente le 14 décembre. Ces modalités sont susceptibles de changer suivant mes disponibilités et celles des étudiants.
En cas d'absence injustifiée la note attribuée est 0. En cas d'absence justifiée à l'un des deux contrôles courts la note correspondante est neutralisée. Un contrôle de rattrapage sera proposé en janvier aux étudiants absents ayant justifié leur absence au contrôle long.
Avancement du cours
Cours 1 (14/9) : Introduction. Chapitre 1 : les matrices. Deux exemples d’utilisation des matrices : modélisation d’un jeu, évolution de parts de marché. Définitions.
Cours 2 (21/9) : Opérations sur les matrices : addition, multiplication. Définitions formelles, exemples, propriétés (associativité, distributivité, éléments neutres…). Transposée d’une matrice. Transposée d’un produit. Inverse d’une matrice. Inverse d’un produit.
Cours 3 (28/9) : Matrices diagonales inversibles. Une matrice qui a une ligne ou une colonne nulle n’est pas inversible. Une matrice dont une ligne est combinaison linéaire des autres n’est pas inversible (l’analogue pour les colonnes). Une matrice est inversible si et seulement si sa matrice transposée l’est. Une matrice triangulaire est inversible si et seulement si aucun de ses coefficients diagonaux n’est nul. Un produit de deux matrices carrées est inversible si et seulement si chacune des deux matrices est inversible. Puissances d’une matrice diagonale. Matrice diagonalisable. Puissances d’une matrice diagonalisable. Matrices d’entrée-sortie (un exemple).
Cours 4 (5/10) : Matrice de technologie (fin). Chapitre 2. Systèmes linéaires. Définition, vocabulaire, algorithme de Gauss-Jordan.
Cours 5 (12/10) : Algorithme de Gauss-Jordan pour inverser une matrice carrée. Structure de l’ensemble des solutions d’un système linéaire. Forme réduite échelonnée d’une matrice. Rang d’une matrice. Deuxième heure : DS1.
Cours 6 (19/10) : Chapitre 3. Espace vectoriel. Sous-espace vectoriel. Sous-espace vectoriel engendré par une partie. Famille génératrices. Application linéaire, application linéaire définie par une matrice. Injectivité d’une application linéaire.
Cours 7 (26/10) : Noyau, image d’une application Application linéaire surjective, bijective (isomorphisme). Famille libre. Base. Théorème de la base incomplète. Exemples.
Cours 8 (9/11) : Toutes les bases d’un espace vectoriel ont le même nombre d’éléments. Dimension. Propriétés. Théorème du rang. Produit, somme, intersection de sous-espaces vectoriels. Hyperplans. Intersections d’hyperplans, dimensions.
Cours 9 (16/11) : Début du chapitre 4 : déterminants et applications. Définition du déterminant en dimension 2 et 3. Formules. Deuxième heure : DS2.
Cours 10 (23/11) : Déterminant en dimension n : définition, formule, développement suivant une ligne ou une colonne, déterminant d’un produit de matrices carrées, caractérisation des matrices inversibles, formule de l’inverse au moyen de la comatrice.
Cours 11 (30/11) : Déterminants des matrices triangulaires. Caractérisation du rang d’une matrice grâce aux déterminants. Vecteur propre, valeur propre. Polynôme caractéristique. Exemples. Diagonalisation d’une matrice. Deux exemples et deux exemples de matrices pas diagonalisables.