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Rappels sur les groupes et les actions de groupes. Résolubilité, simplicité.
Groupes symétriques et alternés, familles de générateurs, résolubilité.
Groupe linéaire, spécial linéaire sur un corps. Familles de générateurs, résolubilité. Drapeaux, décomposition LU, décomposition de Bruhat.
Groupes linéaires sur un corps fini, utilisation des inversibles d'une sous-algèbre de matrices pour trouver des sous-groupes de Sylow.
Géométrie projective : définitions, structure affine du complémentaire d'un hyperplan, homographies, théorèmes de Thalès, Pappus, Desargues. Dualité.
Formes sesquilinéaires et quadratiques : réduction. groupes orthogonaux et symplectiques. Théorème de Witt. Théorème de Cartan-Dieudonné.
Formes quadratiques sur $\mathbb{R}$. Compacité du groupe orthogonal, sous-groupes fermés (théorème de Cartan) et compacts du groupe linéaire, sous-groupes finis de $\mathrm{SO}_3$, polyèdres réguliers. Décompositions de Cartan et d'Iwasawa.
Action de groupes. Théorèmes de Lagrange, Cauchy et Sylow. Résolubilité, Simplicité. Groupe dérivé. Produit semi-direct. Groupes résolubles
Chapitre 2:
Les groupes symétriques et alternés.
Rappel. Classes de conjugaison dans $\mathfrak{S}_n$ et $\mathfrak{A}_n$. Centres et groupe dérivés. Simplicité.
Chapitre 3:
Géométrie projective.
Définition. Liaison affine / projectif. Envoi à l'infini. Théorème de Pappus, Desargues. Dualité. Homographie. Birapport. Quadruplet harmonique. Droite projective complexe.
Chapitre 4:
Les groupes linéaires.
Transvection et dilatation. Simplicité des groupes $\mathrm{PSL}_{n}(k)$.
Chapitre 5:
Les groupes orthogonaux euclidiens.
Réflexion et retournement. Simplicité des groupes $\mathrm{PSO}_{n}(\mathbb{R})$. Décomposition polaire, de Cartan et d'Iwasawa dans $G=\mathrm{SL}_{n}(\mathbb{R})$, $\mathrm{GL}_{n}(\mathbb{R})$, $\mathrm{SL}_{n}(\mathbb{C})$ ou $\mathrm{GL}_{n}(\mathbb{C})$.
Géométrie sphérique: théorème de Girard, Euler et Platon.
Le cours est le mercredi de 10h15 à 12h15. Responsable Ludovic Marquis. Le TD groupe magistère est le mardi à l'ENS Rennes de 8h à 10h. Responsable Salim Rostam. Le TD groupe Beaulieu est le mardi sur le Campus de Beaulieu de 8h à 10h. Responsable Ludovic Marquis.
Contrôle terminal: le jeudi 20 décembre, à 14h, Exam 1
Examen Final 2nde Session:Oraux
La note de contrôle continu est donnée par la formule $CC=\frac{CC1+CC2}{2}$.
La note finale est donnée par la formule $F=\max \Big( T,\frac{CC+T}{2} \Big)$ avec les notations évidentes.
