AN4 Intégrale de fonctions de la variable réelle.
Contenu du cours par semaine
- Sem1: Fonction en escalier:
subdivisions d'un intervalle, espace des fonctions en escalier, propriétés
de l'intégrale .
- Sem2: Intégrale au sens de Riemann, sommes
de Riemann, intégrabilité des fonctions monotones.
- Sem3: Continuité uniforme, intégrabilité
des fonctions continues. Linéarité et positivité de l'intégrale.
Intégrabilité des fonctions continues ou monotones par morceaux.
- Sem4:Propriétés de l'intégrale de Riemann.
Intégrabilité des fonctions bornées avec un nombre fini de points de
discontinuité.Produit de fonctions intégrables
- Sem5:Inégalité de Cauchy-Schwarz. Autres
critères d'intégrabilité ( sommes de Darboux et sommes de Riemann).
Primitives. Critère de Darboux.
- Sem6: Primitives (suite).
- Sem7: Inégalités de Hölder et de Minkowski.
Intégrabilité des fonctions à valeurs complexes. Critère d'intégrabilité de
Lebesgue.
- Sem8: Intégrales généralisées ( impropres):
Définition, exemples fondamentaux ( intégrales de Riemann, de Bertrand,
exponentielle-polynôme ...). Propriétés : linéarité, relation de Chasles,
changement de variable, intégration par parties.
- Sem9: Intégrales de fonctions positives;
Critères de comparaison; exemples. Critère de Cauchy. Intégrales absolument
convergentes.
- Sem10: Comparaison intégrales et séries.
Intégrales semi-convergentes; formules de la moyenne. Règle d'Abel.
- Sem11: Fonctions définies par des intégrales:
Convergences simple et uniforme. Théorème de convergence dominée.
Continuité des intégrale dépendant d'un paramètres. Exemples.
- Sem12: Fonctions définies par des intégrales
(suite): Théorème de dérivabilité sous le signe intégrale. Divers
exemples.
dernière MAJ:
. UFR de mathématiques,
Université de Rennes1.