L2 MIEE // Module VAR
Fonctions de plusieurs variables
Modalités de contrôle des connaissances.
La note finale sera donnée par la formule : max(E,(E+CC)/2), dans laquelle E désigne la note obtenue à l'épreuve d'une durée de deux heures qui se déroulera après la fin des cours et CC la note de contrôle continu. La note CC sera calculée de la façon suivante. Vous aurez deux notes sur 10 pour deux interrogations d'une durée de 1 heure, une note sur 2 points pour deux devoirs à la maison. La somme de ces notes ramenée à une note sur 20 sera CC.
Les deux contrôles d'une heure se dérouleront en TD les vendredis 5 octobre et 16 novembre.
En cas d'absence injustifiée à un contrôle la note attribuée est 0. Un créneau d'une heure sera fixé ultérieurement pour une épreuve destinée aux étudiants qui auraient été absents et auraient justifié leur absence à l'un des deux contrôles (les justificatifs d'absence sont à déposer auprès de Véronique Le Goff). Les personnes ne pouvant être présents ni le 5 octobre ni le 16 novembre ne se verront pas attribuer de note CC (leur note en VAR sera la note E).
Les contrôles d'octobre, de novembre et l'examen comporteront une question tirée de la liste suivante : Connaissances élémentaires (dans les deux premières pages pour le 5 octobre, les quatre premières pour le 16 novembre, l'ensemble du questionnaire pour l'examen).
Liste d'exercices type pour l'examen.
Références bibliographiques
Le cours aura essentiellement le même contenu que celui de l'an passé.
Une bonne partie du contenu est couvert par : Liret et Martinais, Analyse, première année chapitre 15 (qui ne sera pas traité entièrement dans le module), deuxième année chapitres 5, 7, 8, 10.
Un exemple de calcul de développement de Taylor à l'ordre 2.
Feuilles d'exercices
Cours 1 (7/9) : Introduction. L'espace R^n. Définition. Produit scalaire. Inégalité de Cauchy-Schwarz. Norme, distance euclidiennes. Résumé du cours.
Cours 2 (11/9) : Coordonnées polaires, sphériques. Boule ouverte dans R^n. Intérieur, frontière (ou bord), extérieur d'un ensemble. Exemples. Ouverts de R^n. A faire pour vendredi 15/9 : exercices 1 à 7 de la feuille 1. Résumé du cours.
Cours 3 (18/9) : Ouverts, fermés de R^n. Exemples. Suites dans R^n (définition, convergence, Bolzano-Weierstrass). Caractérisation séquentielle des fermés. Compacts de R^n. Résumé du cours.
Cours 4 (25/9) : Début du chapitre 2 : les fonctions de plusieurs variables. Dans le cours de ce jour, il n'a été question que de fonctions à valeurs réelles (fonctions numériques). Définitions et rappels (majorants, minorants, borne supérieure, inférieure, minimum local,...). Limite d'une fonction en un point adhérent à son ensemble de définition. Continuité. Caractérisation séquentielle de la continuité. Image réciproque d'un ouvert ou d'un fermé par une fonction continue définie sur tout R^n. Résumé du cours.
Cours 5 (2/10) : Continuité (suite). Continuité de la somme de deux fonctions continues (démonstration avec la caractérisation séquentielle de la continuité). Un fonction continue sur un compact à valeurs réelles est bornée et atteint ses bornes. Démonstration. Continuité des fonctions à valeurs dans R^m (continuité des fonctions coordonnées). Continuité des fonctions composées. Dérivées partielles. Gradient. Résumé du cours.
Cours 6 (9/10) : Différentielles. Définitions. Quelques exemples de calculs. Si une fonction a des dérivées partielles continues alors elle est différentiable. Différentiabilité d'une fonction à valeurs dans R^p. Différentielle d'une fonction composée. Formule de dérivation en chaîne. Dérivées partielles d'ordre supérieur. Théorème de Schwarz. Résumé du cours.
Cours 7 (16/10) : Théorème des accroissements finis. Début du chapitre 5 : Sous-ensembles de R^n et fonctions. 1. Les courbes paramétrées : courbes régulières, vecteur tangent, paramétrage unitaire (ou normal), courbure. Résumé du cours.
Cours 8 (23/10) : Nappes paramétrées : plan tangent. Courbes de niveau : tangentes. Surfaces de niveau : plan tangent.Théorèmes d'inversion locale et des fonctions implicites. Résumé du cours.
Cours 9 (6/11) : Développement de Taylor à l'ordre 2 et extrema libres. Résumé du cours.
Cours 10 (13/11) : Extrema (suite). Extrema liés. Intégrales des fonctions de plusieurs variables à valeurs réelles. Résumé du cours.
Cours 11 (20/11) : Intégrales des fonctions de plusieurs variables : propriétés, changement de variables, exemples de calculs. Résumé du cours.
Cours 12 (27/11) : Calculs de barycentres (triangle, demi-disque, demie-boule). Intégrale d'un champ de vecteurs le long d'un chemin. Caractérisation des champs gradient. Théorème de Green-Riemann. Aire d'une surface paramétrée. Exemple : sphère, calotte sphérique. Résumé du cours.