Deuxième année de licence en économie et gestion.
Mathématiques
appliquées
Septembre-Décembre 2008
Horaires
Le
cours se tient le mardi de 13h30 à 15h30 dans l'amphithéâtre
1.
Les TD ont lieu le mardi de 8h15 à 10h15 en salle 6
pour le groupe 2, le mardi de 10h30 à 12h30 en salle 6 pour le
groupe 1, le mardi de 15h45 à 17h45 en salle 313 pour le
groupe 5, le jeudi de 13h30 à 15h30 pour le groupe 3 en salle
DB1, le vendredi de 8h15 à 10h15 en salle 5 pour le groupe
4.
Modalités de contrôle des connaissances
Un
examen de deux heures à l'issue du cours.
Liste d'exercices type pour l'examen.
Enoncé de l'examen de l'année 2007/2008.
Enoncé de l'examen de l'année 2006/2007.
Corrigé de l'examen de l'année 2006/2007.
Enoncé de l'examen de l'année 2005/2006.
Corrigé de l'examen de l'année 2005/2006.
Références
bibliographiques
Mathématiques
pour économistes, Carl P. Simon, Lawrence Blume.
Plan
du cours
Feuilles de travaux dirigés
Déroulement du
cours
Cours 1 (9/9) : Introduction.
Exemples de problèmes de recherche de maximum. Utilisation de
la dérivée. Définition des matrices.
Multiplication d'une matrice par un nombre, addition de deux matrices
de même taille, produit de deux matrices.
Cours 2 (16/9) : Utilisation du produit de deux matrices pour un problème d'évolution de parts de marché. Quelques propriétés du produit de matrices. Matrices carrées. Puissances et inverse d'une matrice carrée. Systèmes linéaires (écriture matricielle, écriture de la solution dans le cas inversible). Matrices d'entrée-sortie.
Cours 3 (23/9) : Matrices d'entrée-sortie. Exemples. Calcul de l'inverse d'une matrice 2x2. Définition d'un espace vectoriel. R^n est un espace vectoriel. Familles libres. Familles génératrices. Bases. Base canonique de R^n. Une base de R^n a n éléments. Exemple en dimension 2.
Cours 4 (30/9) : Une famille génératrice de R^3 a au moins trois éléments. De toute famille génératrice on peut extraire une base, on peut compléter une famille libre en une base (dans R^n). Sous-espace vectoriel, base d'un sous-espace vectoriel, dimension d'un sous-espace vectoriel (dans R^n). Application linéaire : définition, exemples. Les applications linéaires de R^p dans R^n coïncident avec les multiplications par les matrices nxp. Rang d'une matrice. Définition d'une matrice échelonnée.
Cours 5 (7/10) : Forme quadratique et matrice associée. Début du chapitre sur les fonctions de plusieurs variables. Rappels sur les fonctions d'une variable. Applications : élasticité, taux de croissance instantané. Fonctions de plusieurs variables. Dérivées partielles. Gradient. Différentielle.
Cours 6 (14/10) : Différentielle. Différentielle d'une fonction à valeurs vectorielles. Formule de dérivation en chaîne. Formule de Taylor à l'ordre 1 pour une fonction de R^n dans R^p. Productivités marginales, élasticités partielles. Fonctions homogènes (définition, identité d'Euler).
Cours 7 (21/10) : Fonctions homogènes et taux de croissance instantané. Théorème des fonctions implicites. Taux marginal de substitution. Dérivées partielles d'ordre 2 et plus. Théorème de Schwarz.
Cours 8 (4/11) : Développement de Taylor à l'ordre 2 d'une fonction de plusieurs variables à valeurs dans R. Déterminant. Le déterminant est un volume. Exemple en dimension 2. Définition formelle en dimension 3. Démonstration et obtention de la règle de Sarrus.
Cours 9 (14/11) : Déterminants en dimensions quelconques (d'un système de vecteurs et d'une matrice carrée) : définition et premières propriétés. Développement d'un déterminant suivant une ligne ou colonne. Calcul de l'inverse d'une matrice à partir de la comatrice. Application des déterminants à la résolution des systèmes linéaires. Formules de Cramer.
Cours 10 (18/11) : Caractérisation des matrices inversibles. Valeurs propres et vecteurs propres d'une matrice carrée. Les matrices nxn ayant n valeurs propres distinctes sont diagonalisables. Les matrices (réelles) symétriques sont diagonalisables. Optimisation (début).
Cours 11 (25/11) : Optimisation : extrema libres. Dimension 2, dimension quelconque.
Cours 12 (2/12) : Optimisation : extrema liés.