Algèbre et Arithmétique 3 (2012-2013)

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Module AR3 de la licence de mathématiques de Rennes 1

Feuille de présentation du module distribuée lors de la première séance de cours.

Modalités de contrôle des connaissances

La note finale est Max(T,(T+CC)/2) où T est la note (sur 20) obtenue à l'examen terminal
et CC est la note (sur 20) de contrôle continu.
La note de contrôle continu est la moyenne des deux notes obtenues aux examens partiels d'1h30 qui auront lieu :

les lundis 18 février et 25 mars 2013 de 10h45 à 12h15 (après une demi-heure de cours)

a priori dans la même salle que le cours (amphi F), peut-être dans une salle d'examen.
Cette moyenne pourra être augmentée d'un bonus symbolique
si le devoir et les exercices qui seront donnés à faire à la maison au cours du semestre sont rendus et sérieusement traités
et/ou en cas de participation assidue aux corrections d'exercices en séances de TD.
 
L'examen terminal de la première session, d'une durée de 2h, a eu lieu le vendredi 19 avril 2013 de 8h à 10h, salle d'examen du bâtiment 27.

 
Les sujets des examens partiels et terminaux pourront comporter une question tirée de la liste d'exercices Connaissances mathématiques élémentaires pour le L2 .
 
Conformément aux modalités générales de contrôle des connaissances, une absence injustifiée à un des examens partiels entraîne la note 0 à cet examen.
Les absences sont à justifier dans les 48h auprès du secrétariat du L2 (bureau de Véronique Le Goff, bâtiment 22, RDC côté mur d'escalade).
Les justificatifs acceptés sont : convocation permis de conduire, JAPD, convocation à un concours, certificats médicaux,
convocation préfecture pour les étudiants étrangers.
Tout justificatif d'absence doit être un document original.

Feuilles de TD

Devoir maison

Sujet du devoir maison

Premier examen partiel

Sujet du premier examen partiel et corrigé

Deuxième examen partiel

Sujet du deuxième examen partiel et corrigé

Examens terminaux

Sujet de l'examen de première session et corrigé

Un autre devoir maison sur les quotients et le corps des fractions

Sujet en version longue et courte.

Résumé succinct des séances de cours

  • Séance du 7 janvier
    Le groupe des permutations d'un ensemble.
    Sous-groupes du groupe des permutations, exemples.
    Groupes « abstraits » , sous-groupes « abstraits ».
    Sous-groupe engendré par une partie.
     
  • Séance du 14 janvier
    Morphismes, noyau d'un morphisme.
    Groupes monogènes.
    Ordre d'un élément.
     
  • Séance du 21 janvier
    Groupes cycliques.
    Théorème de Lagrange : l'ordre d'un sous-groupe d'un
    groupe fini divise l'ordre du groupe.
    Sous-groupes de Z.
    Structure d'anneau. Exemples.
     
  • Séance du 28 janvier
    Morphismes d'anneaux, sous-anneaux, idéal d'un anneau commutatif.
    Diviseurs de zéro, anneaux intègres .
    Groupe des éléments inversibles d'un anneau commutatif.
    Quotient d'un anneau commutatif par un idéal.
    L'exemple de Z/NZ.
    Diviseurs de zéros et éléments inversibles de Z/NZ.
     
  • Séance du 4 février
    Corps.
    Z/NZ est intègre ssi Z/NZ est un corps ssi N est premier.
    Théorème de factorisation pour les anneaux quotients.
    Application au théorème chinois.
    Anneaux de polynômes en une variable, degré.
    Division euclidienne dans k[X].
     
  • Séance du 11 février
    Description des idéaux de k[X].
    Divisibilité, éléments irréductibles
    dans un anneau commutatif intègre.
    Exemple de k[X].
    Existence de pgcd, théorème de Bézout,
    lemme de Gauss, lemme d'Euclide,
    décomposition en produit d'irréductibles
    dans un anneau intègre principal.
    Racines d'un polynôme en une indéterminée.
     
  • Séance du 18 février
    Corps algébriquement clos.
    Polynômes irréductibles.
    Cas de R, C et Fp.
     
  • Séance du 4 mars
    Structure du quotient de k[X] par un idéal.
    L'exemple de R[X]/⟨X2+1⟩.
    k[X]/⟨P⟩ est un corps ssi k[X]/⟨P⟩ est intègre ssi P est irréductible.
    Exemple du corps à quatre éléments F2[X]/⟨X2+X+1⟩.
    Groupes cycliques.
    Tout groupe cyclique d'ordre N est isomorphe à Z/NZ.
    Si g est un élément d'ordre N et k un entier, gk est d'ordre N/pgcd(k,N).
    Un groupe cyclique d'ordre N possède φ(N) générateurs.
    Le groupe multiplicatif d'un corps fini est cyclique.
     
  • Séance du 11 mars

    Groupes des permutations d'un ensemble fini.
    Cycles, décomposition d'une permutation
    en produit de cycles à supports disjoints.
    Signature ; la signature est un morphisme.
     
  • Séance du 18 mars
    Application de la signature au jeu de taquin.
    Énoncé du théorème des deux carrés :
    un nombre premier impair est somme de deux carrés, si et
    seulement s'il est congru à 1 modulo 4.
    La condition est nécessaire.
    L'anneau des entiers de Gauss.
    La norme. Application aux inversibles de l'anneau des entiers de Gauss.
    Division euclidienne dans l'anneau des entiers de Gauss.

     
  • Séance du 25 mars
    Anneaux euclidiens.
    Tout anneau euclidien est principal.
     
  • Séance du 26 mars
    Si p est un nombre premier impair,
    -1 est un carré modulo p
    si et seulement si p est congru à 1 modulo 4.
    Calcul effectif d'une racine carré de -1 modulo p.
    Si un nombre premier impair est est congru
    à 1 modulo 4, il est somme de deux carrés.
    Calcul effectif à l'aide de l'algorithme d'Euclide dans Z[i].

    Archives des années précédentes

    La page du cours de l'an dernier et la page du cours (plus ancien) de Christophe Mourougane.
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