Site Personnel de Stéphane Balac - Enseignant Chercheur à l'Université de Rennes 1

Enseignements dispensés à l'UFR de Mathématiques (Université de Rennes 1)

Année universitaire 2016-2017


Pratique des Logiciels elements finis - Master 2 CSA


L'objectif de cet enseignement est double. D'une part il a pour but d'introduire les concepts mathématiques clés pour une pratique efficace des logiciels éléments finis pour la résolution de problèmes variés issues d'applications en physique, mécanique, etc. D'autre part, il a pour but d’entraîner les étudiants à la pratique de ces logiciels.
Le cours met l'accent sur la notion de formulation variationnelle d'un problème aux limites. Une attention toute particulière est accordée à la manière dont les conditions aux limites et conditions d'interface doivent être prises en compte. Signalons que l'écriture d'une formulation variationnelle pour le problème aux limites étudié est un pré-requis pour certains logiciels éléments finis comme FreeFem++. Nous étudions également la manière dont les problèmes évolutifs (dépendant du temps) peuvent être discrétisés et aussi la discrétisation de problèmes non linéaire. Par ailleurs, certains aspects de la discrétisation par éléments finis sont abordés comme celui du choix de l'espace d’approximation éléments finis, les propriétés du système linéaire issu de la discrétisation ou les méthodes numérique de résolution de celui-ci. Toutes ces notions sont introduites à travers l'étude de problèmes modèles issus de l'électromagnétisme, de l'optique, de la mécanique des structures ou de la mécanique des fluides, de la thermique, etc.
Des travaux pratiques sur machine utilisant les logiciels FreeFem++, Ansys, Comsol, permettent d'illustrer ces concepts et de renforcer l'expérience de la pratique de logiciels éléments finis.


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Résolution numérique de problèmes aux dérivées partielles en physique -  MASTER 1 CSA

- Introduction aux outils mathématiques permettant l’étude mathématique d’un problème aux limites : principe du maximum, distributions, espaces de Sobolev. Notion de formulation variationnelle, théorème de Lax-Milgram. Ces notions sont dans un premier temps introduites dans le cas de la dimension 1 d’espace et illustrées par l’étude d’un problème aux limites modèle unidimensionnel puis généralisées ultérieurement à la dimension supérieure.
- Étude d’un problème aux limites elliptique modèle bidimensionnel (équation de Laplace dans un ouvert borné avec conditions aux limites mêlées de Dirichlet et Neumann). Résultats d’existence et d’unicité de la solution. Recherche de la solution par la méthode de séparation de variables. Approximation par schémas aux différences finies (explicites et implicites). Approximation par la méthode de Galerkin. Approximation par la méthode des éléments finis.
- Étude d’un problème parabolique modèle (équation de la chaleur non stationnaire en une dimension d’espace). Résultats d’existence et d’unicité de la solution. Recherche de la solution par décomposition en série de Fourier. Approximation par schémas aux différences finies (explicites et implicites, schéma de Crank-Nicholson). Notions de consistance et de stabilité d’un schéma aux différences finies. Notion de convergence pour un schéma.
- Étude d’un problème hyperbolique modèle (l’équation d’advection en une dimension d’espace). Résultats d’existence et d’unicité de la solution, la méthode des caractéristiques. Approximation par schémas aux différences finies : schéma Upwind et schéma de Lax-Wendroff. Analyse de la stabilité du schéma par la méthode de Fourier - Von Neumann. Notion de condition CFL. Mise en évidence du phénomène de diffusion numérique.

Les différentes notions introduites dans ce cours le seront après avoir motivé leur nécessité en s’appuyant sur des applications variées en physique.
Les méthodes numériques étudiées dans le cadre de ce cours seront mises en œuvre dans le cadre de travaux pratiques sur machine et seront exploitées pour la simulation numérique de phénomènes physiques.

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Cours d'Analyse -  Premiere année - Licence mention biologie - Parcours sciences de la vie et de la terre

Programme :
    Fonctions d'une variable réelle, ensemble de définition, dérivée, sens de variation, limites, asymptotes.
    Calculs d'incertitude.
    Primitives, intégration par parties, changement de variables.
    Résolution d'équation différentielle linéaire du 1er ordre à coefficients variables et du 2nd ordre à coefficients constants.

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