Site Personnel de Stéphane Balac -
Enseignant Chercheur à l'Université de Rennes 1
Enseignements dispensés à l'UFR de Mathématiques (Université de Rennes
1)
- Pratique des
Logiciels éléments finis - Master 2 CSA
- Résolution numérique de problèmes aux dérivées partielles en
physique - MASTER 1 CSA
Pratique des Logiciels elements finis -
Master 2
L'objectif de cet enseignement est double. D'une part il a pour but
d'introduire les concepts mathématiques clés pour une pratique efficace
des logiciels éléments finis pour la résolution de problèmes variés
issues d'applications en physique, mécanique, etc. D'autre part, il a
pour but d’entraîner les étudiants à la pratique de ces logiciels.
Le cours met l'accent sur la notion de formulation variationnelle d'un
problème aux limites. Une attention toute particulière est accordée à la
manière dont les conditions aux limites et conditions d'interface
doivent être prises en compte. Signalons que l'écriture d'une
formulation variationnelle pour le problème aux limites étudié est un
pré-requis pour certains logiciels éléments finis comme FreeFem++. Nous
étudions également la manière dont les problèmes évolutifs (dépendant du
temps) peuvent être discrétisés et aussi la discrétisation de problèmes
non linéaire. Par ailleurs, certains aspects de la discrétisation par
éléments finis sont abordés comme celui du choix de l'espace
d’approximation éléments finis, les propriétés du système linéaire issu
de la discrétisation ou les méthodes numérique de résolution de
celui-ci. Toutes ces notions sont introduites à travers l'étude de
problèmes modèles issus de l'électromagnétisme, de l'optique, de la
mécanique des structures ou de la mécanique des fluides, de la
thermique, etc.
Des travaux pratiques sur machine utilisant les logiciels FreeFem++,
Ansys, Comsol, permettent d'illustrer ces concepts et de renforcer
l'expérience de la pratique de logiciels éléments finis.
Lien pour l'accès direct au cours
(les identifiants
qui vous ont été fournis par l'université ou l'établissement dans lequel
vous êtes inscrit vous seront demandés).
Résolution numérique de problèmes aux dérivées
partielles en physique - MASTER 1
- Introduction aux outils mathématiques
permettant l’étude mathématique d’un problème aux limites :
principe du maximum, distributions, espaces de Sobolev. Notion de
formulation variationnelle, théorème de Lax-Milgram. Ces notions sont
dans un premier temps introduites dans le cas de la dimension 1 d’espace
et illustrées par l’étude d’un problème aux limites modèle
unidimensionnel puis généralisées ultérieurement à la dimension
supérieure.
- Étude d’un problème aux limites
elliptique modèle bidimensionnel (équation de Laplace dans un
ouvert borné avec conditions aux limites mêlées de Dirichlet et
Neumann). Résultats d’existence et d’unicité de la solution. Recherche
de la solution par la méthode de séparation de variables. Approximation
par schémas aux différences finies (explicites et implicites).
Approximation par la méthode de Galerkin. Approximation par la méthode
des éléments finis.
- Étude d’un problème parabolique
modèle (équation de la chaleur non stationnaire en une
dimension d’espace). Résultats d’existence et d’unicité de la solution.
Recherche de la solution par décomposition en série de Fourier.
Approximation par schémas aux différences finies (explicites et
implicites, schéma de Crank-Nicholson). Notions de consistance et de
stabilité d’un schéma aux différences finies. Notion de convergence pour
un schéma.
- Étude d’un problème hyperbolique
modèle (l’équation d’advection en une dimension d’espace).
Résultats d’existence et d’unicité de la solution, la méthode des
caractéristiques. Approximation par schémas aux différences
finies : schéma Upwind et schéma de Lax-Wendroff. Analyse de la
stabilité du schéma par la méthode de Fourier - Von Neumann. Notion de
condition CFL. Mise en évidence du phénomène de diffusion numérique.
Les différentes notions introduites dans ce cours le seront après
avoir motivé leur nécessité en s’appuyant sur des applications variées
en physique.Les méthodes numériques étudiées dans le cadre de
ce cours seront mises en œuvre dans le cadre de travaux pratiques sur
machine et seront exploitées pour la simulation numérique de phénomènes
physiques.
Lien
pour l'accès direct au cours
(les identifiants
qui vous ont été fournis par l'université ou l'établissement dans lequel
vous êtes inscrit vous seront demandés).
