A la recherche des expressions perdues

De la terminale à la fac: langage et exigence en mathématiques

A la recherche des expressions perdues

Niveau lycée

Le test en lycée ( html- pdf)

La première expérimentation s'est faite, en première S, sur une démonstration de géométrie utilisant deux énoncés ressemblant du point de vue des mots et presque réciproque l'un de l'autre:

Si une droite est perpendiculaire à un plan elle est orthogonale à toutes les droites du plan.
Si une droite est orthogonale à deux droites concourantes d'un plan, elle est perpendiculaire à ce plan.

Cette démonstration utilisait l'expression "il suffit" dont nous voulions tester la confusion avec "il faut" et une justification, en fin de démonstration, introduite par le mot "car".

Quatrième expression

Nous analysons d'abord la quatrième expression où l'on attendait un terme comme "ainsi'':

La droite (AM) est orthogonale à (BC) CAR une droite perpendiculaire à un plan est orthogonale à toutes les droites de ce plan.
COMME le triangle ABC est rectangle en B, .......... la droite (BC) est perpendiculaire à (AB).
AINSI la droite (BC) est orthogonale aux droites (AM) et (AB); les droites (AM) et (AB) sont sécantes,

59% ont utilisé une expression correcte telle que : AINSI, ALORS, DONC, D'OÙ
12% ont utilisé l'expression DE PLUS, ils n'ont pas vu que la phrase "la droite (BC) est orthogonale aux droites (AM) et (AB)" résumait les deux pas de démonstration précédents.
29% ont fait des erreurs importantes; ils ont utilisé un des mots suivants : COMME, PUISQUE, SI . Pour eux le fait que (AB) et (AM) soient sécantes est une conséquence de leur orthogonalité respective avec (BC).

On a pu lire par exemple :

PUISQUE la droite (BC) est orthogonale aux droites (AM) et (AB) ; les droites (AM) et (AB) sont sécantes.

Résultat du "il suffit''

L'expression "il suffit" apparaît implicitement dans l'énoncé d'un théorème de 1ère S:

si une droite est orthogonale à deux droites sécantes d'un plan, alors elle est perpendiculaire à ce plan.

Dans le test, ce théorème était attendu sous la forme:

Pour qu'une droite soit perpendiculaire à un plan, IL SUFFIT qu'elle soit orthogonale à deux droites sécantes de ce plan.

56% des élèves ont utilisé "il suffit" et 44% "il faut". Cette deuxième formulation est très peu utilisée en 1ère S, ce qui peut expliquer le taux relativement modeste de réussite.

Les 3 dernières expressions

PAR CONSÉQUENT (BC) est perpendiculaire au plan (ABM) et DONC (BC) est perpendiculaire à la droite (BM) PUISQUE (BM) est contenue dans le plan (ABM).

41% ont des combinaisons correctes.
59% ont des erreurs portant sur la dernière expression, les deux dernières ou sur la totalité des expressions.

A la place du PUISQUE ou du CAR attendus au dernier mot , ils ont utilisés les expressions suivantes : D'OÙ, DONC, PAR CONSÉQUENT, ET, ......

On a donc pu lire par exemple :

DONC (BC) est perpendiculaire au plan (ABM) et PAR CONSÉQUENT (BC) est perpendiculaire à la droite (BM) D'OÙ (BM) est contenue dans le plan (ABM) Suite...