Définition. Classification des isométries du plan hyperbolique. Description des géodésiques et des sphères du plan hyperbolique. Théorème de Gauss-Bonnet pour les polygones. Réciproque du théorème de Gauss-Bonnet pour les triangles.
Chapitre 2:
Les différents modèles de l'espace hyperbolique.
Modèle de Klein, du $\frac12$-hyperboloïde, de la $\frac12$-sphère, boule conforme et $\frac12$-espace de Poincaré.
Chapitre 3:
Le groupe de Möbius.
Définition des inversions, du groupe de Möbius, du birapport, d'une transformation conforme, de l'extension de Poincaré. Les transformations de Möbius préservent le birapport.
Les transformations de Möbius qui fixe l'infini sont des similitudes. Définition des groupes de Möbius du demi-espace supérieur et de la boule.
Chapitre 4:
Les modèles conformes.
Le lien entre le modèle du demi-espace supérieur $U^d$ et de la boule $B^d$. Transitivité de l'action de $\mathrm{Möb}(X)$ sur $X$, et $\partial X$ pour $X=U^d$ et $B^d$.
Le groupe de Möbius est le groupe des isométries de l'espace hyperbolique. Définition des horosphères. Définition de plusieurs sous-groupes intéressants de $\mathrm{Möb}(X)$.
Décomposition de Jordan pour les isométries/similitudes d'un espace euclidien. Décomposition KAK, d'Iwasawa.
Chapitre 5:
Classification des isométries.
Enoncé de la trichotomie elliptique, parabolique, hyperbolique. Existence de points fixes pour toute isométrie. Existence de barycentre pour une partie bornée. Démo de la classification.
Chapitre 6:
L'espace hyperbolique est Gromov-hyperbolique.
Définition et démonstration.
Chapitre 7:
Action de groupe et topologie.
Variété topologique. Action errante, séparante, libre, proprement discontinue. Le lemme de Selberg. Classification des surfaces et découpage canonique.
Chapitre 8:
Groupe Kleinéen: notions de base.
Définition de groupe Kleinéen élémentaire/non-élémentaire. Définition de l'ensemble limite, du domaine de discontinuité. Premières propriétés de ces ensembles. Le domaine fondamental de Dirichlet.
Définition de réseau du groupe des isométries des espaces hyperboliques. Un réseau est un groupe Kleinéen de 1ère espèce.
Chapitre 7:
Groupe Kleinéen: exemples.
Groupe de Schottky. Groupe arithmétique. Groupe Fuchsien. Théorème de Poincaré version Coxeter en dimension 2. Version lisse.
Chapitre 8:
Espace de Teichmüller.
Surface hyperbolique versus structure hyperbolique. Définition de l'espace de Teichmüller, de l'espace des modules et du Mapping Class group. Espace de Teichmüller d'un pantalon. Présentation des coordonnées de Fenchel-Nielsen.
Notes de Cours
Mes Notes de Cours.
Attention, ces notes sont écrites en français, anglais et parfois les deux...
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Evaluation
Devoir Maison : Sujet donné le 18 octobre à rendre le 15 novembre. Oral le Z.
B. Martelli. Introduction to Geometric Topology. Super livre disponible sur la page web de son auteur.
J. Stillwell. Geometry of surfaces. Intro très accessible à la géométrie des surfaces.
A. Beardon. The Geometry of Discrete Groups. Excellente intro pour commencer la géométrie du plan hyperbolique.
J. Radcliffe. Foundations of Hyperbolic Manifolds. Gros livre qui offre une intro très complète à la géométrie hyperbolique.
W. Thurston. Geometry and topology of three-manifolds. Disponible sur la page web du MSRI. Le classique incontournable de la géométrie et topologie des variétés de dimension 3. Le style peut surprendre...
M. Kapovich. Hyperbolic Manifolds and Discrete Groups. Disponible sur la page web de M. Kapovich. Très bon livre qui contient beaucoup plus qu'une introduction à la géométrie hyperbolique. Idéal pour les motivés.
