Tests statistiques usuels

A partir des résultats d'estimation avec la méthode des Moindres Carrés Ordinaires d'un modèle de régression linéaire simple ou multiple on peut effectuer différents tests statistiques.

Ils portent sur la valeur des paramètres et sur les propriétés des aléas. L'objectif est de réaliser  des tests pour valider les résultats d'un point de vue statistique mais aussi pour analyser les résultats d'un point de vue économique.

• Test de contraintes sur les paramètres
• Test de stabilité des paramètres
• Test de normalité des aléas
• Tests d'homoscédasticité des aléas
• Tests de non autocorrélation des aléas
• Test d'erreurs de mesure

Il existe par ailleurs des tests plus spécifiques liés à l'utilisation de l'estimateur des variables instrumentales

• Test d'exogénéité de Spencer et Beck
• Test de validité des instruments

• Test de contraintes sur les paramètres

Les tests de contraintes sont basés sur la distribution d’une part de l’estimateur des MCO et d’autre part de la variance estimée des aléas. Les tests d'une contrainte sont des tests de  Student, en revanche, les tests de plusieurs contraintes sont des tests de Fisher.

C Test d'une contrainte

Pour tester une contrainte linéaire de la forme r’B=q avec r  de dimension (K,1) et q un scalaire  on calcule la statistique de Student suivante :

 avec un risque a de 5% ou 10%

Si la statistique calculée est plus faible en valeur absolue que la valeur tabulée on accepte l’hypothèse nulle , l’hypothèse alternative étant

 Le test de significativité des paramètres du modèle est un cas particulier de ce test.

C Test de plusieurs contraintes

Pour effectuer un test de plusieurs contraintes tel que  avec R une matrice d’ordre (J,K) , J correspondant au nombre de contraintes, on doit calculer la statistique de Fisher suivante :

avec e le vecteur des résidus du modèle estimé sans les contraintes et R² son coefficient de détermination, et e* le vecteur des résidus du modèle estimé avec les contraintes et R^*2 son coefficient de détermination. L'hypothèse nulle est acceptée lorsque la statistique calculée est inférieure à la valeur tabulée. Les tests de modèles emboîtés et de significativité globale de la régression utilisent cette procédure de test.

• Tests de stabilité des paramètres

APPLICATIONS :
        Analyse de l’investissement en France sur la période 1970-1998,
        Analyse de la demande d’essence aux Etats-Unis entre 1960-1995

Le test de chow est le test standard, il propose de tester la stabilité du modèle pour une date fixée, connue à priori. En revanche les tests de stabilité basés sur les résidus récursifs cherchent à détecter la présence d'une date de rupture.

C Test de Chow

Le test de Chow peut s'écrire sous la forme d'un test de plusieurs contraintes. On considère une date susceptible d'avoir induit une modification de l'équation de comportement, on note n₀ cette date et on cherche à tester si les paramètres sont identiques sur l'ensemble de la période 1,..,N ou si les paramètres sont différents sur les sous- périodes 1,..n₀ et n₀+1,..N, autrement dit on effectue le test suivant :  avec B¹ le vecteur de paramètre sur la première période et B² le vecteur sur la seconde. Sous l’hypothèse nulle il y a stabilité, il s'agit d'un modèle avec K contraintes car chaque paramètre doit être identique sur les deux sous-périodes. Sous l'hypothèse alternative, on a un modèle sans contraintes, il faut dans ce cas estimer le modèle sur les deux sous-périodes pour obtenir 2K paramètres estimés.

On calcule la statistique de Fisher :

La somme des carrés des résidus e*'e* est déduite de l'estimation de l'équation sur l'ensemble de la période et la somme des carrés des résidus e'e correspond à la somme de la somme des carrés des résidus de l'estimation sur chaque sous période.

Si la statistique calculée est inférieure à la valeur tabulée on accepte l’hypothèse de stabilité. La date n₀ ne constitue pas une date de rupture, il n’y a pas de changement structurel.

C Test de stabilité basé sur les résidus récursifs

Pour calculer les résidus récursifs on doit estimer le modèle de régression linéaire pour un nombre d'observations r allant de K à N.

Soit e_r l’erreur de prévision ex-post sur l’observation y_r :  avec :

             et    le paramètre  estimé avec un nombre d’observations égale à r-1.

L’espérance de cette erreur est nulle et sa variance est donnée par :

On définit les résidus récursifs w_r de la manière suivante :

 Le test du CUSUM consiste à représenter graphiquement la série cumulée de ces résidus :

Pour un risque a=5%, la région de confiance du test du CUSUM est
donnée par :

Le test du CUSUM of Square donne une représentation graphique de la série suivante :             

Pour tester la stabilité on regarde si la série S_r reste compris entre deux droites tracées
parallèlement dont les équations sont : où = r-K/N-K et c₀ est une valeur
déterminée en fonction de K et N (la table correspondante peut-être trouvée dans Johnston et Dinardo).

• Test de normalité des aléas

Pour effectuer les tests de contraintes on suppose au préalable que les aléas sont distribués selon une loi normale. Cette hypothèse peut-être testée avec la statistique de Jarque Béra. La procédure est la suivante:

1. On estime le modèle avec la méthode des MCO
2. On calcule les coefficients d'asymétrie (skewness) et d'aplatissement (Kurtosis) des résidus
3. On calcule la statistique de Jarque-Bera:

    avec  

    

   cette statistique suit une distribution du à 2 degrés de liberté et pour une valeur calculée inférieure à la valeur tabulée on accepte l’hypothèse nulle de normalité.

• Tests d'homoscédasticité des aléas

Si l'hypothèse d'homoscédasticité n'est pas satisfaite l'estimateur des MCO n'est pas efficace. Il reste non biaisé mais il n'est plus BLUE, il existe un estimateur plus précis sans biais des paramètres : l'estimateur des Moindres Carrés Pondérés (estimateur des MCG dans le cas de l'hétéroscédasticité). Dans les tests d'homoscédasticité l'hypothèse nulle s'écrit :

C Test de White

Le test de White est un test asymptotique dans lequel il n'est pas nécessaire de spécifier les variables à l'origine de l'hétéroscédasticité. Si le modèle est de la forme  on doit :

1. Estimer l'équation avec les MCO et en déduire les résidus e_i
2. Estimer la relation suivante :
                 
   avec u_i un aléa (de manière générale on utilise en variable explicative les variables en niveau, le produit des variables et les variables au carré)
3. On calcule la statistique NR_e², le coefficient de détermination étant le coefficient de détermination du modèle estimé lors de l'étape 2.

On ne rejette pas  l'hypothèse nulle si la statistique  NR_e² est inférieure à la valeur tabulé d'un  c² à 5 degrés de liberté, le degré de liberté est égal au nombre de paramètres estimés lors de la seconde étape moins un.

CTest de Golfeld et Quandt

Ce test est appliqué lorsqu'on pense qu'une variable explicative est responsable du problème d'hétéroscédasticité autrement dit l'hypothèse alternative est : ou f est une fonction de la variable x_ki, par exemple f(x_ki) = x_ki² .

Dans ce cas on procède de la manière suivante :
            1^ère étape : trier par ordre croissant des observations en fonction de la variable x_k
            2^ème étape : scinder l’échantillon en 2, en omettant les c observations centrales
            3^ème étape : estimer la relation avec chaque échantillon composé de N-c/2 observations
            4^ème étape : tester avec un test de Fisher l’égalité des variances des deux estimations.
                              Calculer la statistique

                                                                                                                               

Mettre au numérateur la variance estimée la plus élevée. Si la valeur calculée Fcal est plus élevée que la valeur tabulée on refuse l’hypothèse nulle d’homoscédasticité. La puissance du test dépend, en autre, du nombre d'observations c exclues. En pratique, pour un nombre total de 30 observations on peut par exemple omettre 6 observations centrales.

• Test de non autocorrélation des aléas

On considère ici le problème d' autocorrélation d'ordre 1 des aléas, on cherche à déterminer dans le cas de données temporelles si e_t=r e_t-1+u_t   avec r un coefficient d’autocorrélation compris entre les valeurs -1 et 1 et u un aléa d’espérance nulle,  homoscédastique et non autocorrélé (c’est un bruit blanc). Le test usuel dans le cas d’un modèle statique est le test de Durbin Watson, dans le cas d’un modèle dynamique on applique la statistique h de Durbin. Sous l'hypothèse nulle on a r=0

                C Le test de Durbin-Watson (cas d'un modèle statique)

Le test de Durbin Watson utilise les résidus obtenus avec l’estimation du modèle par les MCO. Sous l’hypothèse nulle les aléas ne sont pas autocorrélés d’ordre 1, sous l’hypothèse alternative il y a autocorrélation positive ou négative. La statistique de Durbin Watson s’écrit de la manière suivante :

cette statistique est très proche du coefficient d’autocorrélation de l’échantillon

On montre que la statistique d est approximativement égale à 2(1-), ainsi une valeur de d proche de 0 signifie une autocorrélation positive, une valeur proche de 4 une autocorrélation négative et une valeur proche de 2  la non autocorrélation.

La distribution de la statistique d oscille entre deux distributions dl et du,  le règle de décision est la suivante :

             0 < d < dl : autocorrélation positive
            dl < d < du : zone d’indécision
            du < d < 4-du : pas d’autocorrélation
            4-du < d < 4 : autocorrélation négative

On peut appliquer ce test notamment lorsque le modèle comporte une constante et lorsque les variables explicatives sont non aléatoires.

Lorsque les aléas sont autocorrélés (dans un modèle statique) on doit appliquer la méthode des MCG. Mais le coefficient d'autocorrélation étant généralement inconnu on doit utiliser des procédures de correction de l'autocorrélation : Cochrane Orcutt, Hildreth-Lu, Prais-Winter,...

    C Le test h de Durbin (cas d'un modèle dynamique)

Dans le cas d'un modèle dynamique on doit calculer la statistique h de Durbin :

avec N le nombre d’observations, d la statistique de Durbin-Watson et  la variance estimée du coefficient de la variable endogène décalée dans l’estimation du modèle avec la méthode des MCO. La statistique h est distribuée selon une loi normale si elle est inférieure à 1,645 (pour un risque  de 5%) l’hypothèse nulle de non autocorrélation est retenue. Si h prend une valeur négative un test similaire peut-être effectué.

Si  prend une valeur supérieure à 1 on ne peut pas calculer la statistique h de Durbin. On peut procéder alors de la manière suivante :

1.       estimer le modèle dynamique avec la méthode des MCO

2.       estimer un modèle dont la variable endogène est le vecteur des résidus MCO (e) et les variables explicatives les variables du modèle dynamique (x_k k=1,..K et y_t-1) et e_t-1.  

3.       si le coefficient de la variable e_t-1 est significativement différent de 0 on peut rejeter l’hypothèse nulle  de non autocorrélation.

Lorsque l’hypothèse nulle de non autocorrélation est rejetée il faut estimer le modèle avec la méthode de la variable instrumentale.

• Test d'erreurs de mesure

Ce test s’applique lorsqu’on veut tester si une variable explicative comporte une erreur de mesure par rapport à la variable théorique du modèle économique.
Lorsqu’un problème d’erreur de mesure se présente dans un modèle on doit appliquer l’estimateur des variables instrumentales (VI) car l’estimateur des MCO est non convergent.
Sous l’hypothèse nulle  (pas d’erreur de mesure) les estimateurs MCO et VI sont convergents mais l’estimateur des MCO est efficace tandis que l’estimateur des VI est non efficace. Sous l’hypothèse alternative l’estimateur des MCO est non convergent tandis que l’estimateur des VI est convergent. Hausman suggère de calculer la statistique de Wald suivante :