Deuxième année de licence en économie et gestion.
Mathématiques
appliquées
Janvier-Avril 2007
Horaires
Le
cours se tient le mardi de 13h30 à 15h30 dans l'amphithéâtre
1.
Les TD ont lieu en salle 6 de 8h45 à 10h15 et de 10h30
à 12h le mardi et le mercredi (4 groupes). Le premier (de
huit) TD se tiendra le 23 janvier.
Modalités de
contrôle des connaissances
Un examen de deux heures à
l'issue du cours.
Références
bibliographiques
Mathématiques
pour économistes, Carl P. Simon, Lawrence Blume.
Plan
du cours
Feuilles de travaux dirigés
Feuille
1 : Les matrices
Feuille 2 :
Les fonctions de plusieurs variables
Feuille 3 : Déterminants, valeurs propres, optimisation
Sujet de l'examen de l'année 2007 : sujet, correction.
Sujets d'examen de l'année 2006 : première session, deuxième session.
Corrigés des exercices 4, 6, 9 de la feuille 3 et 16 de la feuille 1
Déroulement du
cours
Cours 1 (9/1) : Introduction.
Exemples de problèmes de recherche de maximum. Utilisation de
la dérivée. Définition des matrices.
Multiplication d'une matrice par un nombre, addition de deux matrices
de même taille, transposition d'une matrice. Début
d'introduction du produit de deux matrices à partir d'un
problème d'évolution de parts de marché.
Cours 2 (16/1) : Produit de deux matrices. Matrices particulières : colonnes, lignes, carrées, diagonales, triangulaires. Puissances d'une matrices carrée. Inverse d'une matrice carrée.
Cours 3 (23/1) : Produits de matrices particulières. Ecriture matricielle d'un système linéaire. Exemple de résolution d'un système linéaire à trois inconnues et deux équations. Interprétation géométrique. Matrices de technologie ou entrées-sorties. Structure d'espace vectoriel de R^n.
Cours 4 (30/1) : Application linéaire de R^p dans R^n. Application linéaire associée à une matrice. Formes quadratiques à n variables et matrices associées. Rappels sur les fonctions réelles d'une variable réelle, dérivation.
Cours 5 (6/2) : Exemples d'utilisation de la dérivée en économie (élasticité, durée optimale de détention, taux de croissance instantanné). Définition des fonctions à plusieurs variables. Notion de dérivée partielle. Gradient d'une fonction à valeur réelle. Différentielle totale. Différentiabilité d'une fonction de n variables à valeur réelles. Formule de Taylor à l'ordre 1. Différentiabilité d'une fonction à valeurs vectorielles.
Cours 6 (13/2) : Règle de la dérivation en chaîne. Exemples d'applications économiques du calcul différentiel : productivités marginales, élasticités partielles, taux de croissance instantané. Fonctions homogènes.
Cours 7 (27/2) : Fonctions homogènes et élasticité. Courbe défini par une fonction à deux variables. Equation de sa tangente en un point. Théorème des fonctions implicites pour deux variables, pour n variables (et une fonction à valeurs réelles). Taux marginal de substitution. Dérivées partielles d'ordres supérieurs. Développement de Taylor à l'ordre 2 d'une fonction de plusieurs variables à valeurs réelles (début).
Cours 8 (6/3) : Développement de Taylor à l'ordre 2 d'une fonction de plusieurs variables à valeurs réelles (début). Déterminant : exemples géométriques, définition et calcul en dimension 3.
Cours 9 (13/3) : Déterminant en dimension quelconque. Exemple de calcul. Développement suivant une ligne ou colonne. Calcul de l'inverse d'une matrice à partir de la comatrice.
Cours 10 (20/3) : Application des déterminants à la résolution des systèmes linéaires. Formules de Cramer. Caractérisation des matrices inversibles. Valeurs propres et vecteurs propres d'une matrice carrée. Les matrices nxn ayant n valeurs propres distinctes sont diagonalisables. Les matrices (réelles) symétriques sont diagonalisables. Extremum libre d'une fonction d'une variable. Les extrema libres d'une fonction de deux variables sont des points stationnaires.