Topologie générale (TOPG) 2021-2022
August 20, 2021
Attention - Je ne suis pas l’enseignant de ce cours cette
année. Cette page n’est donc pas à jour, mais elle peut servir
d’archive (en particulier pour les vidéos !).
La topologie est une théorie élégante qui donne les vraies bases que vous avez toujours voulu connaître de l’analyse et la géométrie. Elle ravira tous les amateurs de belles constructions abstraites, mais étonnera aussi les autres par la puissance de ses applications.
Le cours de Topologie générale (TOPG) fait partie de la Licence de mathématiques (niveau L3, semestre 5, parcours “Mathématiques pour la recherche”.
Vidéos des cours
Toute la fin du cours a été réalisée et filmée devant un amphi vide (!) pendant la période Covid en 2020… Vous avez maintenant accès à ces vidéos !
Chaîne vidéo Topologie Générale
- Cours 8:
- Cours 9:
- Partie 1 Compacité dans les métriques, valeur d’adhérence, Lemme de la maille.
- Partie 2 Lemme de recouvrement. Compacité de [a,b].
- Partie 3 Propriétés des compacts, compacts et fermés.
- Partie 4 Intersection de compacts; séparabilité.
- Partie 5 Théorème de Tychonoff (produits de compacts) Citation de Kant!
- Cours 10:
- Partie 1 Fonctions continues et compacts.
- Partie 2 Une fonction réelle sur un compact est bornée, etc. Théorème de Heine.
- Partie 3 Chapitre 4: Espaces vectoriels normés, connexité par arcs, normes équivalentes.
- Partie 4 Normes non équivalentes. Applications linéaires continues.
- Partie 5 (fichier corrompu)
- Cours 11:
- Partie 1 Norme subordonnée (norme d’opérateurs). Compacité en dimension finie.
- Partie 2 suite (preuve). Un sous-espace de dimension finie est fermé.
- Partie 3 Théorème de Riesz. Formes linéaires et hyperplans affines.
- Partie 4 Chapitre 5: Complétude dans les espaces métriques; suites de Cauchy. Espaces de fonctions continues.
- Partie 5 Parties complètes, Q et R.
- Cours 12:
Bibliographie
Le cours suivra d’assez près le “poly” de D. Iftimie et F. Nier, qui sera distribué en séance de TD. Vous pouvez aussi le télécharger ici. Ce texte est suffisant pour passer l’examen, mais si vous souhaitez en savoir davantage, de nombreux jolis textes de toplogie existent, par exemple le très complet Topologie Générale de Bourbaki, ou Topology, de Munkres.
Vous trouvez également des informations sur la page de Christophe Cheverry, qui a enseigné ce cours entre 2012 et 2017.
Modalités de contrôle
Toutes les définitions et tous les résultats du cours (propositions, théorèmes), sauf mention explicite, doivent être connus pour l’examen. Certaines démonstrations simples, ou qui reviennent souvent, sont également exigibles; elles seront indiquées en cours.
Il est important de faire les exercices suggérés pendants le cours; ceux-ci servent directement à la compréhension du cours. Il faut également refaire chez soi les exercices vus en TD. Ils serviront de base pour au moins 2/3 du sujet de l’examen final.
La participation active en TD, la plupart du temps sur la base du volontariat, est fortement conseillée ! Non seulement c’est ainsi que vous apprendrez plus vite, mais elle peut aussi vous gratifier d’un point supplémentaire sur votre note finale (à l’appréciation de l’enseignant de TD).
- Archives (sujets précédents)
- 2017-2018: QCM1, QCM2, Contrôle (correction), Terminal.
- 2018-2019: QCM1, QCM2 (correction), CC (correction), Terminal, Deuxième session (correction).
- 2019-2020: QCM1, CC
- 2020-2021: CC avec correction
Image
L’image illustre l’équivalence topologique entre un tore plein (une bague, ou un “donut”) et une tasse de café. Elle a été obtenue par l’artiste mathématicien Henry Segerman.