Matthieu Romagny


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        Groupe de travail sur la théorie géométrique des invariants, septembre - décembre 2013, Rennes.

        Organisateurs : M. Bolognesi, Ch. Mourougane, M. Romagny

        La référence principale est le livre de Mumford (-Fogarty-Kirwan) : Geometric Invariant Theory, Springer.

        Le groupe de travail a lieu les mardis à 10h30 en salle 16.
        Certaines séances seront peut-être déplacées.
        Pour donner vos disponibilités, merci de répondre au sondage en ligne ici.

        Actu : une rencontre de 4 jours sur la Théorie Géométrique des Invariants à Roscoff en décembre 2013, voir ici.

        Programme :

10 sept       Introduction (Romagny)  
17 sept       Actions de groupes algébriques ; différentes notions de quotient (Cantat)
24 sept       Groupes réductifs et quotients de variétés affines 1 (Bourqui)  
1 oct       Groupes réductifs et quotients de variétés affines 2 (Bourqui)
8 oct       Faisceaux linéarisés 1 (Guirardel)
15 oct       Faisceaux linéarisés 2 (Guirardel)
22 oct       Stabilité 1 (Ritzenthaler)  
5 nov       Le critère numérique de stabilité de Hilbert-Mumford (Mourougane)  
12 nov       Stabilité 2 (Bolognesi)
19 nov       Exemples (Vaccon)
26 nov       Espaces de modules, exemple des courbes (Moret-Bailly)  
3 déc       Stabilité des courbes projectives, 1 (Romagny)  
10 déc       Stabilité des courbes projectives, 2 (Romagny)


        Programme détaillé (les références sont au livre de Mumford) :

        Actions de groupes algébriques ; différentes notions de quotient
- actions, orbites, stabilisateurs (0.1)
- quotients catégoriques et géométriques, universels et uniformes (0.1) ; exemples
- un quotient géométrique est catégorique (0.2, prop. 0.1)
- propriétés d'un quotient catégorique (0.2, remarque (2))
- dimension des stabilisateurs et des fibres (0.2, remarque (4))
- un critère pour être un quotient géométrique (0.2, prop. 0.2)


        Groupes réductifs et quotients de variétés affines
- groupes réductifs, linéairement réductifs, opérateur de Reynolds (1.1)
- actions fermées, séparées, propres, libres (0.3, déf. 0.8)
- quotient d'une variété affine par un groupe réductif (toute la section 1.2)


        Faisceaux linéarisés
- faisceaux linéarisés, groupe PicG(X) (1.3)
- isomorphisme Pic(Y)→PicG(X) dans le cas d'un quotient géométrique avec action libre (1.3)
- fibrés inversibles linéarisés et plongement projectifs équivariants (1.3, prop. 1.7 et amplification 1.8)


        Stabilité 1
- points préstables, semi-stables, stables, proprement stables (terminologie Mumford) (1.4)
- quotients des ouverts préstables, semi-stables, stables (1.4, prop. 1.9, th. 1.10, amplification 1.11))


        Stabilité 2
- pour tout quotient catégorique (resp. géométrique) X→Y, la source X est l'ouvert
  préstable (resp. stable) pour un certain fibré linéarisé (1.4, cor. 1.12 et 1.13)
- stabilité et changement du corps de base (1.4, prop. 1.14)
- stabilité et passage de G à sa composante neutre (1.4, prop. 1.15)
- stabilité et passage de X à Xred (1.4, prop. 1.16)
- fonctorialité (1.5, prop. 1.18)


        Le critère numérique de stabilité de Hilbert-Mumford
- sous-groupes à un paramètre, fonction μL(x,λ) (2.1, def. 2.1 et 2.2)
- critère numérique de stabilité (2.1, th. 2.1)


        Exemples
- hypersurfaces projectives (4.2 ou Dolgachev, chap. 10)
- variétés toriques (Dolgachev, chap. 12)
- contre-exemples (4.3)


        Espaces de modules, exemple des courbes
- formalisme des problèmes de modules : définition fonctorielle d'un problème de modules,
  espaces de modules fins et grossiers (5.2)
- l'exemple du schéma de Hilbert : définition, théorème de représentabilité (admis),
  exemples et variantes (Grothendieck FGA Exp. 221 ; Fundamental Algebraic Geometry, Fantechi et al.)
- plongement canonique des courbes de genre >1 et schéma de Hilbert
- quotient du schéma de Hilbert par PGL et module des courbes (5.2, prop. 5.4)


        Stabilité des courbes projectives
- stabilité des courbes projectives (4.6, th. 4.5). On lira la section 4.6 et on essaiera
  d'en donner un aperçu le plus complet possible.


        Construction de l'espace de modules des courbes
- construction de Mg comme quotient géométrique de Hilb : toute la section 5.4