Home


Research


Enseignement




Courbes et Surfaces

Résumé du cours

Chapitre 1:
Etude des courbes d'un point de vue différentiel.
Beaucoup de définitions, points réguliers, stationnaires, biréguliers, simples, doubles, etc... Existence de tangente, position par rapport à la tangente. Branche infinie.
Chapitre 2:
Les courbes en coordonnées polaires
Présentation. Calcul de la vitesse et de l'accération. Etude des tangentes et des branches infinies.
Chapitre 3:
Etude métrique des courbes.
Définition de la longueur d'un arc. Notion d'arc rectifiable. Exemple du flocon de von Koch. La longueur d'un arc comme supremum des périmètres des polygones inscrits sur la courbe est égale à l'intégrale de la norme de la vitesse. Exemples de calcul explicite de longueurs de courbes. Repère de Frenet. Définition de la courbure. Formule pour un arc paramétré. Exemples de calcul de courbure. Rayon de courbure. La développée et la développante d'une courbe. Paramétrage par l'angle. Quelques courbes remarquables. Enveloppe de droites. Théorème de Jordan et de Peano.
Chapitre 4:
Courbe définie par une équation implicite.
Théorème des fonctions implicites. Exemples.
Chapitre 5:
Etude métrique des courbes de l'espace.
Produit vectoriel. Trièdre de Frenet. Courbure et torsion. Hélice circulaire. Quelques formules. Théorème fondamental. Quelques courbes particulières.
Chapitre 6:
Surfaces de l'espace.
Difféomorphisme versus homémomorphisme. Beaucoup d'exemples de surfaces. Définition d'une surface de $\mathbb{R}^3$. Exemples: les sphères, les tores, les cylindres, les cônes, les graphes de fonctions et les surfaces de révolution. Définition des courbures principales d'une surface. Exemples de point sphérique, planaire, elliptique, hyperbolique, parabolique. Calcul des courbures principales sur les sphères et les tores. La pseudo-sphère.

Evaluation

Contrôle continu 1: le mercredi 14 février. CC 1
Contrôle continu 2: le jeudi 29 mars. CC 2
Examen Final: le mercredi 9 mai, à 8h. Examen Final 1ere Session
La note finale est donnée par la formule $F=\max \Big( T,\frac{CC+T}{2} \Big)$ avec les notations évidentes.
Examen Seconde Session: le mardi 19 juin, à 8h. Examen Final 2nde Session

Les TD

TD 1 TD 2 TD 3 TD 4 TD 5

Biblio

  • H. Prépa Maths, MPSI, Analyse, Chapitre 12, Courbes Planes. Hachette Livre 1998

  • H. Prépa Maths, MP, Algèbre - Géométrie 2, Chapitre 9, Les courbes du plan et de l'espace. Hachette Livre 2000

  • Cours de mathématiques spéciales 5. Géométrie: arcs et nappes. Bernard Gostiaux.

  • Géométrie différentielle : variétés, courbes et surfaces, Marcel Berger & Bernard Gostiaux, PUF, 2ème édition 1992.