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Mon activité de recherche est
centrée
sur des problèmes d'équations aux dérivées
partielles. Elle concerne aussi bien leur analyse, leur analyse
numérique,
la mise en oeuvre de schémas de résolution que leur
interprétation
physique. La plupart des edp envisagées modélisent des
phénomènes
dans les domaines de l'électromagnétisme et de la
mécanique.
Phénomènes de propagation
Ce thème de recherche a été
développé
en étroite collaboration avec le laboratoire de Simulation et de
Modélisation de phénomènes de Propagation (SMP) de
l'ENSTA. Il concerne essentiellement les phénomènes
de propagation d'ondes, notamment acoustiques et
électromagnétiques.
Dans une
première étude, nous nous sommes intéressés
à l'existence
de modes guidés dans un guide invariant dans la direction de
propagation
et étant une perturbation compacte d'un milieu stratifié
dans le plan transverse. Sous les hypothèses de faible guidage,
le problème se réduit à un problème aux
valeurs
propres pour un opérateur de type Helmholtz en dimension deux.
Les
modes guidés sont les vecteurs propres correspondant aux valeurs
propres apparaissant sous le spectre essentiel. Une longue étude
analysant les hypothèses à faire sur l'indice de
réfraction
caractérisant les milieux a été entreprise.
Nous avons
ensuite fait
une analyse à haute fréquence et avons
étudié
le comportement des valeurs propres à haute fréquence.
Par
exemple, nous avons pu mettre en évidence des configurations de
guide, pour lesquelles nous avons au moins une solution à haute
fréquence et d'autres pour lesquelles nous n'avons aucune
solution
à haute fréquence.
Actuellement
nous abordons
l'étude du problème en supprimant l'hypothèse de
faible
guidage et en revenant au système de Maxwell. Dans ce cas le
problème
est plus difficile à étudier, car il s'agit d'un
système
couplé à plusieurs inconnues (le champ magnétique)
en milieu non borné.
Erreur dans l'approximation de
problèmes non linéaires
Mes travaux sur l'approximation par
éléments
finis de problèmes de bifurcation en collaboration avec J.Rappaz
de l'école Polytechnique Fédérale de Lausanne ont
fait l'objet d'un article conséquent dans le Handbook of
Numerical
Analysis. De plus sous des hypothèses moins restrictives que
précédemment
(non compacité de l'opérateur dérivée),
j'ai
pu établir des conditions généralisées de
stabilité
du type inf-sup. La vérification de ces conditions pour
un
schéma nécessite une bonne connaissance de
l'approximation
d'un problème aux valeurs propres auxiliaire.
Dans une
approximation
par éléments finis, la géométrie du
maillage
influence l'erreur entre la solution exacte et la solution
approchée.
Afin de diminuer cette erreur, de nombreuses méthodes ont
été
développées et analysées. La méthode
particulière
que nous étudions consiste à construire
itérativement
un maillage utilisant la géométrie des lignes de niveau
de
la solution et un estimateur local a posteriori. Nous avons
analysé
et mis en oeuvre la méthode à l'aide du logiciel
Mélina
développé par D.Martin membre de l'équipe.
Problèmes relevant de l'Imagerie par
Résonance
Magnétique nucléaire
Notre étude comporte des aspects relatifs
à
la modélisation en IRM, au calcul de champs magnétiques
et
à l'analyse numérique de schémas de
résolution.
Nous sommes amenés à résoudre deux
problèmes
importants en IRM: le calcul des champs magnétiques statiques et
la reconstruction de l'image déformée à partir de
la carte des champs induits.
Dans le
cadre de collaborations avec le laboratoire de résonance
magnétique en biologie et médecine de l'Université
de Rennes 1, nous avons abordé des problèmes liés
au calcul
de champs magnétiques apparaissant dans les appareils d'IRM. Par
exemple pour améliorer les contrastes, les imageurs ont de plus
en plus recours à de grandes variations de champs
magnétiques.
Il est alors très difficile de conserver un champ
homogène
à variation linéaire, utile pour la localisation des
signaux
dans l'espace. Nous avons étudié des configurations
permettant d'obtenir
des variations importantes tout en les conservant linéaires.
Cette étude passe par la mise au point de méthodes
numériques
pour le calcul des champs en lien avec une méthode
d'optimisation
de forme.
Des travaux relatifs à des phénomènes
d'échauffement dans les expériences d'IRM ont
été entrepris.
Pour une présentation générale, voir le document.
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