6 Modélisation du niveau d’eau dans un lac de rétention

1. La loi d’une v.a. X est déterminée par sa fonction de répartition F_X(x) = [X < x]. Si F_X est inversible, montrer que F_X ^{- 1}(U) a même loi que X, où U est une v.a. de loi uniforme sur [0, 1].

   Application : pour > 0, montrez que Y = - 1 log U est une v.a. de loi exponentielle de paramètre .

2. On veut modéliser la quantité d’eau retenue dans un barrage hydro-électrique en fonction du temps et de divers paramètres. Pour simplifier la modélisation, on considère une évolution temporelle discrète sur une année, chaque unité de temps représentant un jour. On s’intéresse au nombre moyen de jours par an où l’usine ne peut plus fonctionner parce que la réserve d’eau est épuisée.
3. Soit (X_n)_n>0 une suite de v.a.i.i.d. positives, représentant la quantité d’eau reçue durant la période ]n-1, n]. Soit (_n)_n>0 une suite de v.a.i.i.d. positives, indépendantes des v.a. (X_n)_n>0, représentant la demande d’eau pour la période ]n - 1, n]. Le barrage a une capacité totale C et Z_n représente le niveau à la fin de la période ]n - 1, n]. Montrez que

4. Donnez une interprétation de _n.
5. On suppose que ₁ est une v.a. de loi exponentielle d’intensité _d, et que X₁ est une v.a. exponentielle d’intensité _p. Évaluez par simulation l’espérance du nombre de jours de “panne sèche” par an pours diverses valeurs des paramètres Z₀, C, _p, et _d. Interprétez vos résultats numériques.