Une marche aléatoire qui reste dans le demi-plan supérieur

5 Une marche aléatoire qui reste dans le demi-plan supérieur

Soit (S_i )_i>1 une marche aléatoire simple sur : S₀ = 0, et S_n = sum _{i = 1}ⁿX_i, pour n > 1, où (X_i)_i>1 est une suite de variables aléatoires i.i.d., telles que [X₁ = 1] = [X₁ = -1] = 1 2.

5.1 Étude expérimentale

Écrire un programme permettant de simuler une trajectoire de longueur n d’une telle marche. Afficher les positions successives de la marche jusqu’à l’instant n.
Écrire un programme permettant d’estimer 1 n [(S_n)²].
Prendre différentes valeurs de n et de MC (MC=100, 1000, 10000). Pour éviter la recompilation à chaque changement de valeurs, on pourra définir les paramètres n et MC comme des variables à entrer au clavier.
Les valeurs expérimentales obtenues sont elles cohérentes avec le résultat théorique attendu?
Écrire un programme permettant d’estimer $2 E[S2n|Si > 0, A i = 1,...,2n]. 2n$

On simulera des marches aléatoires simples de longueur 2n sur en ne conservant que celles restant sur _*⁺ : on rejettera une trajectoire dès qu’elle passera par l’origine. Prendre garde au fait qu’il est nécessaire de simuler un grand nombre de m.a. pour obtenir un nombre fixé MC de marches “convenables”. On pourra imposer que le programme s’arrête si le nombre NBECH de marches rejetées est supérieure à une certaine valeur MAX (débuter avec MAX=10000, par exemple, et augmenter cette valeur si le temps de calcul est acceptable).
Essayer différentes valeurs de n (n = 1, ..., 5) et de MC (MC= 100, 1000,10000). Pouvez-vous estimer la valeur théorique?

5.2 Étude théorique

Calcul de

2 S22n-| E[S2n|Si > 0, A i = 1,...,2n] =_ E[2n-1{Si>0, A i=1,...,2n}]. 2n P[Si > 0, A i = 1,...,2n]

Utiliser le principe de réflexion pour montrer que :
1. [S_i>0,i=1,...,2n;S_2n=x]= 1__ 2²ⁿ x _ 2n C_2n^{2n+x
  2} , pour x {2, 4, ..., 2n}.
2. [S_i > 0, i = 1, ..., 2n] = 1 ___ 2²ⁿ⁺¹ C_2nⁿ.
Principe de réflexion : le nombre de trajectoires de longueur n sur partant de a > 0, passant par 0, et s’arrêtant en b > 0, est égal au nombre de trajectoires de longueur n partant de -a et s’arrêtant en b.
Utiliser les résultats précédents pour montrer que $(S2n)2 4 sum n 3 n+k E[-2n--|Si > 0, A i = 1,...,2n] = n2Cn k C2n . 2nk=1$
En déduire que $(S )2 E[--2n--|Si > 0, A i = 1,...,2n] = 2. 2n$
Une méthode : écrire
$( ) -1-- sum n 3 n+k sum n 3 k prod -1--n---j- Cn2n k C2n = k n + j + 1 , k=1 k=1 j=0$
et montrer par récurrence sur p (p = 1, ..., n) que la somme des p derniers termes (k = n - p + 1, ..., n) vaut :
$( ) p 2 n-p prod -1 -n---j-- 2((n- p +1) + p - 1) n+ j +1 . j=0$

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