4 Problème de Dirichlet discret sur une partie finie du réseau bi-dimensionnel

4.1 Définitions

Soit S = D B une partie finie de ² telle que :

1. D et B n’ont aucun point en commun et D /= Ø,
2. chaque point de D a 4 voisins dans S,
3. chaque point de B a au moins un voisin dans D,
4. P, Q S, il existe une suite de points P₁, ..., P_i D formant un chemin de P à Q.

D est l’ensemble des points intérieurs à S, et B est le bord de S.

Une fonction f définie sur S est dite harmonique si :

Le problème de Dirichlet consiste à déterminer une fonction harmonique sur S, connaissant les valeurs de f sur le bord B.

4.2 Questions

1. Montrer le principe du maximum : une fonction harmonique définie sur S prend sa valeur maximum et sa valeur minimum sur le bord.
2. En déduire le principe d’unicité de Dirichlet : si f et g sont deux fonctions harmoniques sur S coïncidant sur le bord, alors f = g sur S. (Utiliser le fait que la différence de deux fonctions harmoniques est une fonction harmonique).
3. Nous allons retrouver le principe d’unicité de Dirichlet, par une approche probabiliste, et donner une expression de la valeur de f sur D, connaissant ses valeurs sur B. Soit (X_n)_n>1 une suite de v.a.i.i.d. à valeurs dans ², telle que

   Soit x D et (S_n)_n>0 la marche aléatoire sur ² définie par

   
   Soit T le temps d’entrée dans B, défini par T = inf{n > 1 : S_n B}, et (S_n^T)_n>0 la marche aléatoire arrêtée au temps T.
   1. Soit f harmonique sur S. Montrer que (f(S_n^T))_n>0 est une martingale relativement à la filtration ((X₀ = x, X₁, ..., X_n))_n>0.
   2. En déduire le principe d’unicité de Dirichlet et montrer que :

      où _x signifie que la marche aléatoire part de x.

4. Utilisez la question précédente pour écrire un algorithme de simulation Monte-Carlo calculant les valeurs approchées d’une fonction harmonique sur une partie finie S de ², connaissant ses valeurs sur le bord.
5. Testez votre programme sur l’exemple suivant avec D = {a, b, c, d, e} (déterminez une valeur approchée de f aux points a, b, c, d, e avec des conditions au bord f(₀) = 0 et f(₁) = 1.
   
6. Montrez que le problème discret de Dirichlet sur S ² peut se résoudre exactement en se ramenant à un système d’équations linéaires. On pourra résoudre exactement par cette méthode l’exemple proposé , ou admettre que la solution est :

   Comparez vos résultats numériques avec les valeurs théoriques.