3 Processus de branchement

3.1 Définitions

i,n

n

3.2 Partie expérimentale

On se limitera ici à étudier des v.a. prenant les valeurs 0, 1 et 2.

1. Notant p_i = (X_1,1 = i) et m = (X_1,1), exprimez p₁ et p₂ en fonction de m et p₀. Assurez-vous par un test dans votre programme que le choix de m et p₀ est permise. Écrire un programme donnant une réalisation de la suite (Z_n)_1....,N avec m, p₀ et N en entrées. Réfléchir aux débordements possibles et imposer une limite supérieure MAXZ à Z_n. (On rappelle que 2³¹ - 1 = 2147483647).
2. Étudier la probabilité d’extinction de la population a = (Z = 0). Pour cela réaliser une boucle Monte-Carlo de MC réalisations de Z_N et estimer (Z_N = 0). Introduire un compteur d’échecs NBECH pour compter les cas où il y a débordement. Considérer différentes valeurs de p₀ et m. ( p₀ = 0, p₀ > 0, m = 1, m > 1). Prendre N = 100, 1000, 10000. Qu’observez-vous?
3. Étudier l’espérance (Z_N |Z_N 0) et comparer la avec m^N . Quelle conjecture formulez vous?

L’animation en ligne donne un exemple de simulation des premières générations du processus.

3.3 Partie théorique

1. Montrer que f prend ses valeurs dans [0, 1]. Que valent f(0), f(1), f'(0), f'(1) ?
2. Soit f_n(t) = (t^Z_n). Montrer que f_n+1(t) = f_n(f(t)) et que donc f_n = fⁿ (où le produit utilisé est la composition des applications).
3. Comparer a et f_n(0). Montrer que a vérifie f(a) = a. Étudier les variations de f. Que se passe-t-il si p₀ = 0 , si m < 1, si m > 1 ?
4. Dans le cas étudié expérimentalement, calculer f et a.
5. Calculer (Z_n) et (Z_n|Z_n0).