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2 Récurrence d’une marche aléatoire

Soit (qi )i>1 une suite de varianles aléatoires indépendantes et identiquement distribuées selon la loi uniforme sur {-1, 1}. Soit (Sn)n>0 la suite des somme partielles des variables aléatoires (qi), à savoir

S0 = 0 sum n Sn = qi. i=1
Le processus (Sn)n est appelé marche aléatoire simple sur Z. On introduit le temps aléatoire T = inf {n > 1 : Sn = 1}. Le but de cet exercice est de déterminer certaines caractéristiques de la loi de T.

L’animation en ligne permet de visualiser diverses réalisations de la marche aléatoire. Pour une petite valeur de n (commencer avec n = 10) cliquer plusieurs fois sur le bouton de lancement de simulation. Ensuite augmenter la valeur de n à 100 et répéter plusieurs fois. Faire de même avec n = 1000.

2.1 Étude expérimentale

Écrire un programme permettant d’estimer E[T] : on calculera la moyenne empirique de T sur un échantillon obtenue par une boucle réalisant MC réalisations de T. Puisque T peut être très grand, imposer une limite supérieure MAXT et un compteur d’échecs NBECH de façon que si T n’a pu être déterminé après MAXT étapes, on incrémente le compteur NBECH d’une unité et on passe à une nouvelle trajectoire. Pour éviter la recompilation à chaque changement de valeurs, on pourra définir les paramètres MAXT et MC comme des variables à entrer au clavier. Afficher l’estimation de E[T] et NBECH.
  1. Essayer les valeurs MC=1000 et MAXT=100, 1000, 10000.
  2. Si NBECH n’est pas nul, augmenter encore MAXT jusqu’à ce qu’il s’annule. Qu’observez-vous?
  3. Votre résultat numérique sur E[T] est-il compatible avec la fonction génératrice E[aT ] = 1- V~ 1-a2 a ?

2.2 Étude théorique

Cette partie ne nécessite pas de simulation. Elle peut être traitée chez-vous.
  1. Pour la filtration Fn = s(q1, ..., qn), montrer que M(h)n = e(xpco(shhShn)n) est une martingale et que T est un temps d’arrêt.
  2. Calculer E[M(h)nT], où M(h)nT est la martingale arrêtée au temps T.
  3. Pour h > 0, définir M(h)T = M(h)l sur {T = l} (l = 1, 2, ...), et M(h)T = 0 sur {T = oo }. Montrer que lim n --> oo M(h)nT = M(h)T .
  4. Montrer que E[M(h)T ] = 1 pour h > 0. Utiliser la définition du temps d’arrêt pour établir la formule concernant la fonction génératrice donnée dans la partie expérimentale (suggestion : poser a = -1-- coshh).
  5. Montrer que T est p.s. fini mais non intégrable (la marche aléatoire simple sur Z est dite récurrente nulle).

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