Algèbre et Géométrie 2 (2023-2024)

Matrices, systèmes linéaires.

Définitions (matrices, matrices lignes, colonnes, carrées). Égalité de deux matrices.

Somme de matrices, produit d'une matrice par un scalaire.

Produit de matrices.

Matrices, systèmes linéaires.

Propriété du produit de matrices. Matrices identité.

Systèmes linéaires (définitions). Systèmes homogènes.
Systèmes équivalents.

Puissances d'une matrice carrée.
Formule du binôme pour des matrices qui commutent.

Inverse d'une matrice (définition).

Matrices, systèmes linéaires.

Inverse de l'inverse. Inverse d'un produit de matrices.
Inverse d'une matrice 2x2.
Systèmes linéaires dont la matrice est inversible.

Matrices/systèmes sous forme échelonnée, échelonnée réduite.

Résolution d'un système échelonné réduit.

Matrices, systèmes linéaires.

Résolution d'un système échelonné réduit : description
de l'ensemble des solutions quand il y a moins de pivots
que de variables.

Opérations élémentaires sur les matrices / les systèmes.
Matrices associées aux opérations élémentaires.

Matrice lignes équivalentes.

Méthode du pivot de Gauss (sur un exemple)

Matrices, systèmes linéaires.

Méthode du pivot de Gauss (formalisation générale)

Systèmes avec strictement plus
d'inconnues que d'équations.

Unicité de la forme échelonnée réduite.
Rang d'une matrice.

Caractérisation des matrices inversibles par
la forme échelonnée réduite et le rang.

Calcul de l'inverse d'une matrice inversible par la méthode du pivot.

L'espace vectoriel R^p.

Définition. Propriétés héritées des propriétés des sommes de matrices
et du produit d'une matrice par un scalaire.

Sous-espaces vectoriels. Sous-espaces affines

Exemples : ensemble des solutions d'un système homogène/ d'un système.

L'espace vectoriel R^p.

Combinaisons linéaires de vecteurs, Vect.
Le Vect d'une famille de vecteurs est le plus petit
sous-espace vectoriel contenant ces vecteurs.

Exemples issus de la résolution des systèmes linéaires.

L'espace vectoriel R^p.

Familles libres et liées.

Exemples issus de la résolution des systèmes linéaires.

Une famille est liée si et seulement si l'un des vecteurs
est dans le Vect des autres vecteurs.

Rang d'une famille de vecteurs, lien entre liberté et rang.
De toute famille de vecteurs de rang r on peut extraire une famille
libre de r vecteurs qui engendre le même espace.

L'espace vectoriel R^p.

Familles génératrices. Bases.
Coordonnées d'un vecteur dans une base.

La base canonique de R^p.

Caractérisation des bases de Rⁿ par le rang.

Théorème de la base incomplète.

L'espace vectoriel R^p.

Dimension d'un sous-espace vectoriel de R^p.

Caractérisation des bases d'un sous-espace vectoriel de R^p par le rang.

Le rang d'une famille de vecteurs est la dimension de leur Vect.

Équations d'un sous-espace vectoriel de R^p (début).

L'espace vectoriel R^p.

Équations d'un sous-espace vectoriel de R^p (suite).
Équations d'un sous-espace affine de R^p.

Applications linéaires de R^p dans Rⁿ.
Matrice d'une telle application linéaire.

L'espace vectoriel R^p.

Composition d'applications linéaires.

Linéarité et matrice de l'application réciproque d'une application linéaire inversible.

Espaces vectoriels.

Définition abstraite.

Deux exemples de linéarisation de problèmes
modélisés par des équations différentielles.

Espaces vectoriels.

Unicité de l'élément neutre, du symétrique, règles de calcul.

Exemples : Kⁿ, M_n,p(K),
ensemble des applications d'un ensemble X vers K,
cas particuliers (pe suites à valeurs dans K)

Espaces vectoriels.

Extension de certaines définitions et de certains résultats du chapitre sur l'espace vectoriel R^p.

Intersection et somme de sous-espaces vectoriels.
Somme directe de sous-espaces vectoriels.

Espaces vectoriels.

Somme directe de sous-espaces vectoriels (suite).

Applications linéaires entre espaces vectoriels :
exemples, image d'un sous-espace vectoriel.

Espaces vectoriels.

Applications linéaires entre espaces vectoriels :
noyau, composition, inverse d'une application linéaire inversible.

Espaces vectoriels de dimension finie.

Préliminaires sur les isomorphismes.

Définition d'un espace vectoriel de dimension finie.
Exemples.

Espaces vectoriels de dimension finie.

Toutes les bases ont le même cardinal.
Définition de la dimension.

Rang d'une famille finie de vecteurs.

Théorème de la base incomplète. Existence de supplémentaires.

Dimension d'une somme de sous-espaces vectoriels.
Dimension et supplémentaires.

Espaces vectoriels de dimension finie.

Rang d'une application linéaire de source
un espace vectoriel de dimension finie.
Théorème du rang.
Un endomorphisme d'un espace de dimension finie
est injectif si et seulement s'il est surjectif
si et seulement s'il est bijectif.

Coordonnées d'un vecteur dans une base.

Espaces vectoriels de dimension finie.

Changement de bases. Matrice de passage.
Formule de changement de coordonnées.

Matrice d'une application linéaire relativement
à des bases données.
Cas des matrices de passage.
Compatibilité vis-à-vis de la composition et
du produit matriciel.

Espaces vectoriels de dimension finie.

Matrices d'un isomorphisme.

Effet d'un changement de base sur la
matrice d'un endomorphisme.
Matrices semblables.

Exemple d'applications

• étude d'un couple de suites récurrentes linéaires
• étude d'un système différentiel linéaire