Deuxième année de licence en économie et gestion.
Mathématiques
appliquées
Janvier-Avril 2008
Horaires
Le
cours se tient le mardi de 13h30 à 15h30 dans l'amphithéâtre
1.
Les TD ont lieu en salle 6 (sauf le TD du mercredi à
10h30 qui se tient en salle 1) de 8h45 à 10h15 et de 10h30 à
12h le mardi et le mercredi (4 groupes). Le premier (de huit) TD se
tiendra le 22 janvier.
Modalités de contrôle
des connaissances
Un examen de deux heures à l'issue du
cours.
L'examen aura lieu le 5 mai de 13h à 15h. Exercices type pour l'examen
Références
bibliographiques
Mathématiques
pour économistes, Carl P. Simon, Lawrence Blume.
Plan
du cours
Feuilles de travaux dirigés
Déroulement du
cours
Cours 1 (8/1) : Introduction.
Exemples de problèmes de recherche de maximum. Utilisation de
la dérivée. Définition des matrices.
Multiplication d'une matrice par un nombre, addition de deux matrices
de même taille, transposition d'une matrice, produit de deux
matrices.
Cours 2 (15/1) : Produit de deux matrices. Matrices particulières. Matrices carrées. Puissances d'une matrice carrée, inverse d'une matrice carrée. Systèmes linéaires.
Cours 3 (22/1) : Calcul de l'inverse d'une matrice 2x2. Ecriture matricielle d'un système linéaire. Matrices de technologie ou entrées-sorties. Structure d'espace vectoriel. R^n est un espace vectoriel. Définition d'une base de R^n
Cours 4 (29/1) : Base canonique de R^n. Application linéaire de R^p dans R^n. Application linéaire associée à une matrice. Formes quadratiques à n variables et matrices associées. Rappels sur les fonctions réelles d'une variable réelle, dérivation. Exemples d'utilisation de la dérivée en économie (élasticité).
Cours 5 (5/2) : Exemples d'utilisation de la dérivée en économie (durée optimale de détention, taux de croissance instantanné). Définition des fonctions à plusieurs variables. Notion de dérivée partielle. Gradient d'une fonction à valeur réelle. Différentielle totale. Différentiabilité d'une fonction de n variables à valeur réelles. Formule de Taylor à l'ordre 1. Différentiabilité d'une fonction à valeurs vectorielles. Règle de la dérivation en chaîne (début).
Cours 6 (12/2) : Je regrette BEAUCOUP qu'une erreur d'affichage m'ait contraint à reporter le cours. Les TD de la semaine prochaine sont annulés.
Cours 6 (19/2) : Règle de la dérivation en chaîne. Exemples d'applications économiques du calcul différentiel : productivités marginales, élasticités partielles, taux de croissance instantané. Fonctions homogènes. Fonctions homogènes et élasticité. Courbe défini par une fonction à deux variables. Equation de sa tangente en un point.
Cours 7 (4/3) : Théorème des fonctions implicites pour deux variables (et une fonction à valeurs réelles). Taux marginal de substitution. Dérivées partielles d'ordres supérieurs. Développement de Taylor à l'ordre 2 d'une fonction de plusieurs variables à valeurs réelles (début).
Cours 8 (11/3) : Développement de Taylor à l'ordre 2 d'une fonction de plusieurs variables à valeurs réelles. Déterminants : introduction, formes linéaires alternées, cas de la dimension trois, règle de Sarrus. Déterminants en dimensions quelconques (d'un système de vecteurs et d'une matrice carrée) : définition et premières propriétés.
Cours 9 (14/3) : Développement d'un déterminant suivant une ligne ou colonne. Calcul de l'inverse d'une matrice à partir de la comatrice. Application des déterminants à la résolution des systèmes linéaires. Formules de Cramer.
Cours 10 (18/3) : Caractérisation des matrices inversibles. Valeurs propres et vecteurs propres d'une matrice carrée. Les matrices nxn ayant n valeurs propres distinctes sont diagonalisables. Les matrices (réelles) symétriques sont diagonalisables.
Cours 11 (25/3) : Optimisation. Extremum libre. Point stationnaire. Nature des points stationnaires : extremum ou point selle. Un critère portant sur la matrice hessienne : signes des valeurs propres de la hessienne. En dimension deux, le signe du déterminant et d'un coefficient diagonal suffit pour conclure. Exemple d'étude de la nature des points stationnaires d'une fonction de trois variables. Caractérisation des points stationnaires en utilisant les mineurs diagonaux.
Cours 12 (1/4) : Extremums liés. Multiplicateurs de Lagrange. Exemples.