Horaires
Le cours se tient le mardi de 13h30 à 15h30 dans
l'amphithéâtre 1.
Les TD ont lieu en salle 6 de 8h45 à 10h15 et de 10h30 à
12h le mardi et le mercredi (4 groupes). Ils se tiendront aux semaines
3 et 4, puis pendant six semaines de cours à partir de la
semaine 6.
Modalités de contrôle des
connaissances
Un examen de deux heures à l'issue du cours.
L'examen a eu lieu le mardi 11 avril de
13h à 15h. Le
corrigé de l'examen.
Exercices type pour l'examen.
Les corrigés de certains
des exercices : 1, 4, 5, 7, 9 sont disponibles ici Quelques
Corrigés. J'ai
corrigé quelques erreurs des précédentes versions
qui m'ont été aimablement signalées.
Les exercices 2 et 6 ont été traités en TD.
Pour faire l'exercice 3, on peut développer par rapport à
la première ligne par exemple. On obtient 56.
Oubliez l'exercice 8. Je n'aurais pas dû le mettre dans cette
liste.
Le corrigé de l'examen.
Références
bibliographiques
Mathématiques pour économistes,
Carl P. Simon, Lawrence Blume.
Plan du cours
(évolutif)
Feuilles de travaux dirigés.
Feuille 1 :
Les matrices.
Feuille 2 : Les fonctions de plusieurs
variables.
Feuille 3 : Déterminants, inverses de
matrices, optimisation.
Déroulement du cours
Cours 1 (3/1) :
Introduction. Exemples de problèmes de recherche de
maximum. Utilisation de la dérivée. Définition des
matrices. Multiplication d'une matrice par un nombre, addition de deux
matrices de même taille, transposition d'une matrice.
Début d'introduction du produit de deux matrices à
partir d'un problème d'évolution de parts de
marché.
Cours 2 (10/1) : Produit de
deux matrices. Définition. Exemples. Propriétés.
Matrices particulières : ligne, colonne, identité,
diagonale. Puissances d'une matrice carrée. Matrice
carrée inversible.
Cours 3 (17/1) : Puissances
d'une matrice diagonale. Ecriture matricielle d'un système
linéaire. Exemple de résolution d'un système
à deux équations et trois inconnues. Matrice de
technologie, entrée-sortie. Structure d'espace vectoriel de R^n.
Application linéaire de R^p dans R^n. Application
linéaire associée à une matrice.
Cours 4 (24/1) : Application
linéaire associée à une matrice. Le cours est
annulé suite à une discussion pénible avec un
étudiant refusant de se plier à ma demande de changer de
place. Les points au programme du jour étaient : formes
quadratiques à n variables et matrices associées, rappels
sur les fonctions réelles d'une variable réelle,
dérivation, exemple d'utilisation en économie
(élasticité, durée optimale de détention,
taux de croissance instantanné), définition des fonctions
à plusieurs variables, notion de dérivée partielle.
Cours 5 (31/1) : Formes
quadratiques à n variables et matrices associées. Rappels
sur les fonctions réelles d'une variable réelle,
dérivation, exemple d'utilisation en économie
(élasticité, durée optimale de détention,
taux de croissance instantanné). Définition des
fonctions
à plusieurs variables. Notion de dérivée
partielle. Gradient d'une fonction à valeur réelle.
Différentielle totale.
Cours 6 (7/2) :
Différentiabilité d'une fonction de n variables à
valeur réelles. Formule de Taylor à l'ordre 1.
Différentiabilité d'une fonction à valeurs
vectorielles. Applications : productivité marginale,
elasticité partielle, taux d'accroissement instantané.
Dérivée d'une fonction composée. Règle de
dérivation en chaîne.
Cours 7 (14/2) :
Fonctions homogènes (définition, Euler). Courbe
défini par une fonction à deux variables. Equation de sa
tangente en un point. Théorème des fonctions implicites
pour deux variables. Taux marginal de substitution.
Cours 8 (21/2) :
Dérivées partielles d'ordres supérieurs.
Développement de Taylor à l'ordre 2 d'une fonction de
plusieurs variables à valeurs réelles. Forme
3-linéaire alternée. Déinition du
déterminant. Démonstration de la formule donnant le
déterminant en dimension 3.
Cours 9 (7/3) :
Déterminant en dimension quelconque : définition et
propriétés. Règles de calcul en dimension 2 et 3.
Déterminant d'un produit de matrices. Caractérisation des
matrices inversibles. Développement suivant une ligne ou
colonne. Calcul de l'inverse d'une matrice à partir de la
comatrice.
Cours 10 (14/3) : Un
exemple de calcul d'inverse de matrice. Application aux systèmes
linéaires. Formules de Cramer. Quelques exemples de
résolutions de systèmes linéaires. Diagonalisation
des matrices carrées. Un exemple en dimension 2. Valeurs
propres. Vecteurs propres. Caractérisation des valeurs propres
au moyen du déterminant. Si un matrice nxn a n valeurs propres
distinctes alors elle est diagonalisable. Une matrice symétrique
est diagonalisable et on peut choisir les vecteurs propres
normés et orthogonaux deux à deux.
Cours 11
(21/3) : Le déterminant d'une matrice est le produit de ses
valeurs propres. Optimisation. Extremum libre. Point stationnaire. Nature des points stationnaires : extremum ou
point selle. Un critère portant sur la matrice hessienne :
signes des valeurs propres de la hessienne. En dimension deux, le signe
du déterminant et d'un coefficient diagonal suffit pour conclure
sans chercher les valeurs propres.
Cours 12 (28/3) : Exemple
d'étude de la nature des points stationnaires d'une fonction de
trois variables. Caractérisation des points stationnaires en
utilisant les mineurs diagonaux. Extremums liés. Multiplicateurs
de Lagrange. Etude sur un exemple de l'optimisation d'une fonction sur
un domaine défini par des inégalités.